Номер 11, страница 316 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

11. Определите последнюю цифру в записи числа $2007!!!$.

Для того чтобы определить последнюю цифру числа, необходимо найти его остаток от деления на 10. Если число делится на 10, его последняя цифра равна 0. Число делится на 10, если оно делится одновременно на 2 и на 5.

Рассмотрим число, заданное в условии: $2007!!!$.

Выражение $n!!!$ (тройной факториал) — это произведение натуральных чисел от $n$ до 1 с шагом 3. То есть, $n!!! = n \times (n-3) \times (n-6) \times \dots \times k$, где $k$ — последнее положительное число в этой последовательности.

Для числа $2007!!!$ произведение будет выглядеть так:$2007!!! = 2007 \times (2007-3) \times (2007-6) \times \dots = 2007 \times 2004 \times 2001 \times 1998 \times \dots$

Чтобы определить, оканчивается ли это произведение на 0, проверим, есть ли среди его множителей числа, делящиеся на 2 и на 5.

1. Наличие множителя, делящегося на 2 (четного числа).
Второй множитель в произведении — это $2007-3 = 2004$. Число 2004 является четным, так как оно делится на 2. Следовательно, все произведение $2007!!!$ делится на 2.

2. Наличие множителя, делящегося на 5.
Множитель делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5. Будем искать в последовательности $2007, 2004, 2001, \dots$ число, оканчивающееся на 5. Все члены этой последовательности имеют вид $2007 - 3k$ для $k \ge 0$. Найдем такой $k$, чтобы последняя цифра числа $2007 - 3k$ была равна 5.Последняя цифра числа 2007 равна 7. Чтобы разность оканчивалась на 5, последняя цифра вычитаемого ($3k$) должна быть 2 (так как $7-2=5$).Проверим значения $3k$ для разных $k$: $3 \times 1=3$, $3 \times 2=6$, $3 \times 3=9$, $3 \times 4=12$. Последняя цифра числа 12 — это 2.Значит, при $k=4$ мы получим нужный нам множитель: $2007 - 3 \times 4 = 2007 - 12 = 1995$.Число 1995 оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5. Этот множитель присутствует в произведении $2007!!!$.

Поскольку в разложении числа $2007!!!$ есть множитель, делящийся на 2 (например, 2004), и множитель, делящийся на 5 (например, 1995), то все произведение делится на $2 \times 5 = 10$.

Любое целое число, которое делится на 10, оканчивается на 0.
Ответ: 0