Номер 13, страница 316 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

13. Определите последнюю отличную от нуля цифру в записи числа $30!!$.

Решение:Заданное число — это двойной факториал, и поскольку 30 является четным числом, он вычисляется как произведение всех четных чисел от 2 до 30:$30!! = 30 \cdot 28 \cdot 26 \cdot \ldots \cdot 4 \cdot 2$.В этом произведении 15 сомножителей. Мы можем вынести множитель 2 из каждого из них:$30!! = (2 \cdot 15) \cdot (2 \cdot 14) \cdot \ldots \cdot (2 \cdot 1) = 2^{15} \cdot (15 \cdot 14 \cdot \ldots \cdot 1) = 2^{15} \cdot 15!$.Чтобы найти последнюю отличную от нуля цифру, сначала определим, на сколько нулей оканчивается число $30!!$. Количество нулей определяется количеством пар простых множителей $(2, 5)$ в разложении числа. Множители 5 могут появиться только из разложения $15!$, так как $2^{15}$ не содержит пятерок. Количество пятерок в разложении $15!$ можно найти по формуле Лежандра:$k_5 = \lfloor\frac{15}{5}\rfloor + \lfloor\frac{15}{25}\rfloor + \ldots = 3 + 0 = 3$.Количество двоек в разложении $30!!$ очевидно больше трех, поэтому число $30!!$ оканчивается на 3 нуля.Искомая цифра — это последняя цифра числа $N = \frac{30!!}{10^3}$, то есть нам нужно найти $N \pmod{10}$.$N = \frac{2^{15} \cdot 15!}{10^3} = \frac{2^{15} \cdot 15!}{(2 \cdot 5)^3} = \frac{2^{15} \cdot 15!}{2^3 \cdot 5^3} = 2^{12} \cdot \frac{15!}{5^3}$.Теперь найдем остаток от деления на 10 для каждого сомножителя.1. Найдем $2^{12} \pmod{10}$. Последние цифры степеней двойки образуют цикл длины 4: $2, 4, 8, 6$. Поскольку показатель $12$ делится на 4, последняя цифра $2^{12}$ будет такой же, как у $2^4$, то есть 6.2. Найдем $\frac{15!}{5^3} \pmod{10}$. Этот множитель представляет собой произведение чисел от 1 до 15, в котором все множители 5 удалены. Точнее, числа 5, 10, 15 делятся на 5.$\frac{15!}{5^3} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{5}{5} \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot \frac{10}{5} \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot \frac{15}{5} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 3$.Найдем последнюю цифру этого произведения по модулю 10:$L(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4) = 4$.$L(6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9) = L(3024) = 4$.$L(11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14) = L(24024) = 4$.Множители от деления на 5 дают $1, 2, 3$.Тогда последняя цифра всего выражения равна последней цифре произведения:$L(4 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 3) = L(16 \cdot 2 \cdot 12) = L(6 \cdot 2 \cdot 2) = L(24) = 4$.Итак, последняя цифра числа $\frac{15!}{5^3}$ равна 4.3. Теперь перемножим полученные последние цифры:$N \pmod{10} = (6 \cdot 4) \pmod{10} = 24 \pmod{10} = 4$.Последняя отличная от нуля цифра числа $30!!$ равна 4.
Ответ: 4