Номер 19, страница 316 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

19. Сколько лет Васе, если чётный факториал его возраста больше нечётного факториала его возраста в $\frac{1024}{231}$ раза?

Пусть возраст Васи равен $n$ лет.

В задаче используются понятия "чётный факториал" и "нечётный факториал" возраста. Будем понимать под этими терминами следующее:
Чётный факториал числа $n$, который обозначим $E_n$, — это произведение всех чётных натуральных чисел, не превосходящих $n$. Например, $E_6 = 2 \cdot 4 \cdot 6 = 48$.
Нечётный факториал числа $n$, который обозначим $O_n$, — это произведение всех нечётных натуральных чисел, не превосходящих $n$. Например, $O_6 = 1 \cdot 3 \cdot 5 = 15$.

Согласно условию задачи, чётный факториал возраста Васи больше нечётного факториала в $\frac{1024}{231}$ раза. Это можно записать в виде уравнения:

$\frac{E_n}{O_n} = \frac{1024}{231}$

Разложим числа в правой части дроби на простые множители, чтобы лучше понять её структуру:

$1024 = 2^{10}$
$231 = 3 \cdot 7 \cdot 11$

Таким образом, мы ищем такое $n$, для которого выполняется равенство:

$\frac{E_n}{O_n} = \frac{2^{10}}{3 \cdot 7 \cdot 11}$

Рассмотрим два возможных случая для возраста $n$.

1. Если предположить, что $n$ — нечётное число, то самый большой множитель в нечётном факториале $O_n$ будет само число $n$, а в чётном факториале $E_n$ — число $n-1$. В этом случае (при $n > 1$) значение дроби $\frac{E_n}{O_n}$ будет меньше 1, так как множители в числителе меньше соответствующих множителей в знаменателе и их меньше по количеству. Однако, $\frac{1024}{231} \approx 4.43$, что больше 1. Следовательно, возраст Васи не может быть нечётным числом.

2. Значит, $n$ — чётное число. Будем последовательно проверять чётные значения $n$ и вычислять для них отношение $\frac{E_n}{O_n}$:

При $n=2$: $\frac{E_2}{O_2} = \frac{2}{1} = 2$.
При $n=4$: $\frac{E_4}{O_4} = \frac{2 \cdot 4}{1 \cdot 3} = \frac{8}{3}$.
При $n=6$: $\frac{E_6}{O_6} = \frac{2 \cdot 4 \cdot 6}{1 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{48}{15} = \frac{16}{5}$.
При $n=8$: $\frac{E_8}{O_8} = \frac{E_6 \cdot 8}{O_6 \cdot 7} = \frac{16}{5} \cdot \frac{8}{7} = \frac{128}{35}$.
При $n=10$: $\frac{E_{10}}{O_{10}} = \frac{E_8 \cdot 10}{O_8 \cdot 9} = \frac{128}{35} \cdot \frac{10}{9} = \frac{1280}{315} = \frac{256}{63}$.
При $n=12$: $\frac{E_{12}}{O_{12}} = \frac{E_{10} \cdot 12}{O_{10} \cdot 11} = \frac{256}{63} \cdot \frac{12}{11} = \frac{256 \cdot 12}{63 \cdot 11}$. Сократим числитель и знаменатель на 3: $\frac{256 \cdot 4}{21 \cdot 11} = \frac{1024}{231}$.

Полученное значение совпало со значением из условия задачи. Это означает, что возраст Васи равен 12 годам.

Ответ: 12.