Номер 20, страница 316 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

20. Сколько лет Дусе, если нечётный факториал её возраста больше чётного факториала её возраста в $\frac{3003}{1024}$ раза?

Обозначим возраст Дуси как $n$. В задаче используются понятия «нечётный факториал» и «чётный факториал» числа. Будем считать, что нечётный факториал числа $n$ — это произведение всех нечётных натуральных чисел, не превосходящих $n$, а чётный факториал — произведение всех чётных натуральных чисел, не превосходящих $n$.

Пусть $N_{нечет}(n)$ — нечётный факториал возраста Дуси, а $N_{чет}(n)$ — чётный факториал её возраста. Согласно условию задачи, нечётный факториал больше чётного в $\frac{3003}{1024}$ раза. Это можно записать в виде уравнения:

$\frac{N_{нечет}(n)}{N_{чет}(n)} = \frac{3003}{1024}$

Рассмотрим два возможных случая для возраста $n$.

1. Возраст $n$ — чётное число.

Пусть $n = 2k$ для некоторого натурального числа $k$.
Тогда нечётный факториал: $N_{нечет}(n) = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2k-1)$.
Чётный факториал: $N_{чет}(n) = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot (2k)$.

Составим их отношение:

$\frac{N_{нечет}(n)}{N_{чет}(n)} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2k-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot (2k)}$

В этой дроби каждый множитель числителя меньше соответствующего множителя знаменателя ($1 < 2$, $3 < 4$, и т.д.). Следовательно, значение дроби всегда будет меньше 1.
Однако, правая часть исходного уравнения $\frac{3003}{1024} > 1$.
Поскольку $\frac{N_{нечет}(n)}{N_{чет}(n)} < 1$, а $\frac{3003}{1024} > 1$, в случае, когда возраст $n$ является чётным числом, решений нет. Значит, возраст Дуси — нечётное число.

2. Возраст $n$ — нечётное число.

Пусть $n = 2k-1$ для некоторого натурального числа $k$.
Тогда нечётный факториал: $N_{нечет}(n) = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2k-1)$.
Чётный факториал (произведение чётных чисел, не превосходящих $n=2k-1$): $N_{чет}(n) = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot (2k-2)$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2k-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot (2k-2)} = \frac{3003}{1024}$

Для решения этого уравнения будем последовательно вычислять левую часть для различных нечётных $n$ (увеличивая $k$) до тех пор, пока не получим нужное значение.

• При $n=1$ ($k=1$): левая часть равна $\frac{1}{1} = 1$ (знаменатель — пустое произведение, равное 1).
• При $n=3$ ($k=2$): $\frac{1 \cdot 3}{2} = \frac{3}{2}$.
• При $n=5$ ($k=3$): $\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4} = \frac{15}{8}$.
• При $n=7$ ($k=4$): $\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{105}{48} = \frac{35}{16}$.
• При $n=9$ ($k=5$): $\frac{35}{16} \cdot \frac{9}{8} = \frac{315}{128}$.
• При $n=11$ ($k=6$): $\frac{315}{128} \cdot \frac{11}{10} = \frac{315 \cdot 11}{1280} = \frac{63 \cdot 11}{256} = \frac{693}{256}$.
• При $n=13$ ($k=7$): $\frac{693}{256} \cdot \frac{13}{12} = \frac{693 \cdot 13}{256 \cdot 12}$. Сократим дробь: $693 = 3 \cdot 231$, а $12 = 3 \cdot 4$.
  $\frac{(3 \cdot 231) \cdot 13}{256 \cdot (3 \cdot 4)} = \frac{231 \cdot 13}{256 \cdot 4} = \frac{3003}{1024}$.

Мы получили значение, указанное в условии задачи. Это произошло при $n=13$. Следовательно, Дусе 13 лет.

Ответ: 13 лет.