Номер 10, страница 316 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

10. а) Пешеход может пройти расстояние AB за $a$ ч, а велосипедист может проехать то же расстояние за $b$ ч. Однажды они отправились одновременно навстречу друг другу — пешеход из A, велосипедист из B — и встретились через $t$ ч. Какому числовому промежутку принадлежат значения $t$, если $20 \le a \le 24$ и $5 \le b \le 8$?

б) Первая труба наполнит бассейн за $a$ ч, вторая — за $b$ ч, а при совместной работе они наполнят тот же бассейн за $t$ ч. Какому числовому промежутку принадлежат значения $t$, если $20 \le a \le 24$ и $30 \le b \le 40$?

Назовём чётным факториалом (или двойным факториалом) число $n!!$ — произведение всех чётных чисел, не превосходящих $n$, а нечётным факториалом (или тройным факториалом) число $n!!!$ — произведение всех нечётных чисел, не превосходящих $n (n > 4)$. Например, $6!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 = 48$, $6!!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 = 15$, $7!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 = 48$, $7!!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$.

а) Пусть расстояние между пунктами А и В равно $S$. Скорость пешехода равна $v_п = S/a$, а скорость велосипедиста — $v_в = S/b$. Когда они движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_п + v_в = \frac{S}{a} + \frac{S}{b} = S(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$.
Время $t$, через которое они встретятся, находится из соотношения $S = v_{сбл} \cdot t$. Подставим выражение для скорости сближения:$S = S(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})t$.
Так как расстояние $S > 0$, можно разделить обе части уравнения на $S$:$1 = (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})t$.
Выразим отсюда время $t$:$t = \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{1}{\frac{a+b}{ab}} = \frac{ab}{a+b}$.
Нам даны интервалы для $a$ и $b$: $20 \le a \le 24$ и $5 \le b \le 8$.Функция $t(a, b) = \frac{ab}{a+b}$ является возрастающей по каждому из аргументов $a$ и $b$ при положительных значениях. Это можно показать, проанализировав частные производные, которые всегда положительны: $\frac{\partial t}{\partial a} = \frac{b^2}{(a+b)^2} > 0$ и $\frac{\partial t}{\partial b} = \frac{a^2}{(a+b)^2} > 0$.
Следовательно, наименьшее значение $t$ будет достигаться при наименьших значениях $a$ и $b$, а наибольшее — при наибольших.Вычислим минимальное значение $t_{min}$:$t_{min} = \frac{a_{min} \cdot b_{min}}{a_{min} + b_{min}} = \frac{20 \cdot 5}{20 + 5} = \frac{100}{25} = 4$ часа.
Вычислим максимальное значение $t_{max}$:$t_{max} = \frac{a_{max} \cdot b_{max}}{a_{max} + b_{max}} = \frac{24 \cdot 8}{24 + 8} = \frac{192}{32} = 6$ часов.
Таким образом, значения $t$ принадлежат числовому промежутку $[4; 6]$.
Ответ: $t \in [4; 6]$.

б) Задачи на совместную работу решаются аналогично задачам на движение. Примем весь объем бассейна за 1. Тогда производительность первой трубы (часть бассейна, наполняемая за час) равна $P_1 = 1/a$, а производительность второй трубы — $P_2 = 1/b$.
При совместной работе их производительности складываются: $P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.
Время $t$, за которое они вместе наполнят бассейн, вычисляется как $t = \frac{1}{P_{общ}}$.$t = \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{ab}{a+b}$.
Мы получили ту же самую зависимость $t$ от $a$ и $b$, что и в пункте а). Нам даны интервалы: $20 \le a \le 24$ и $30 \le b \le 40$.
Как было показано ранее, функция $t(a, b) = \frac{ab}{a+b}$ возрастает по обоим аргументам. Значит, для нахождения диапазона значений $t$, нужно подставить в формулу минимальные и максимальные значения $a$ и $b$.
Вычислим минимальное значение $t_{min}$:$t_{min} = \frac{a_{min} \cdot b_{min}}{a_{min} + b_{min}} = \frac{20 \cdot 30}{20 + 30} = \frac{600}{50} = 12$ часов.
Вычислим максимальное значение $t_{max}$:$t_{max} = \frac{a_{max} \cdot b_{max}}{a_{max} + b_{max}} = \frac{24 \cdot 40}{24 + 40} = \frac{960}{64} = 15$ часов.
Таким образом, значения $t$ принадлежат числовому промежутку $[12; 15]$.
Ответ: $t \in [12; 15]$.