Номер 1083, страница 283 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Доказываем (1083–1084).

1083. Докажите, что полупериметр треугольника больше каждой из сторон этого треугольника.

1083.

Для доказательства данного утверждения введем обозначения. Пусть стороны произвольного треугольника равны $a$, $b$ и $c$.

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$.
Полупериметр $p$ — это половина периметра: $p = \frac{a + b + c}{2}$.

Нам необходимо доказать, что полупериметр больше каждой из сторон треугольника. Это означает, что нужно доказать справедливость трех неравенств:
$p > a$
$p > b$
$p > c$

Основой для доказательства служит неравенство треугольника, которое гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины оставшейся третьей стороны. Для нашего треугольника это записывается в виде системы из трех неравенств:
$a + b > c$
$b + c > a$
$a + c > b$

Теперь докажем каждое из требуемых неравенств по очереди, используя алгебраические преобразования.

1. Докажем, что $p > a$.
Подставим в это неравенство выражение для полупериметра $p$:
$\frac{a + b + c}{2} > a$
Умножим обе части неравенства на 2 (так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется):
$a + b + c > 2a$
Перенесем $a$ из левой части в правую (или вычтем $a$ из обеих частей):
$b + c > 2a - a$
$b + c > a$
Полученное неравенство $b + c > a$ является верным согласно неравенству треугольника. Поскольку мы использовали равносильные преобразования, исходное неравенство $p > a$ также является верным.

2. Докажем, что $p > b$.
Проведем аналогичные действия:
$\frac{a + b + c}{2} > b$
$a + b + c > 2b$
$a + c > 2b - b$
$a + c > b$
Это неравенство также истинно в силу неравенства треугольника, а значит, верно и $p > b$.

3. Докажем, что $p > c$.
И для третьей стороны:
$\frac{a + b + c}{2} > c$
$a + b + c > 2c$
$a + b > 2c - c$
$a + b > c$
Это последнее из трех неравенств треугольника, и оно также является верным. Следовательно, $p > c$ тоже верно.

Таким образом, мы доказали, что полупериметр треугольника строго больше каждой из его сторон. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.