Номер 1076, страница 282 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1076. Докажите, что если:

a) $a > 0$ и $a = b$, то $a^k = b^k$ при любом натуральном $k$;

б) $a > b > 0$, то $a^k > b^k$ при любом натуральном $k$.

Сформулируйте и докажите утверждения, обратные утверждениям «а» и «б».

a)

Докажем утверждение методом математической индукции по $k$.
База индукции: При $k=1$. Если по условию $a=b$, то $a^1 = b^1$, что является верным равенством.
Шаг индукции: Предположим, что для некоторого натурального числа $n$ утверждение верно, то есть $a^n = b^n$. Докажем, что оно верно и для $k=n+1$.
Рассмотрим $a^{n+1}$. Мы знаем, что $a^{n+1} = a^n \cdot a$.
Согласно предположению индукции, $a^n = b^n$. По условию задачи, $a=b$.
Заменим в выражении $a^n \cdot a$ множители на равные им $b^n$ и $b$:
$a^{n+1} = a^n \cdot a = b^n \cdot b = b^{n+1}$.
Таким образом, $a^{n+1} = b^{n+1}$.
Шаг индукции доказан. Следовательно, утверждение $a^k = b^k$ верно для любого натурального $k$. Условие $a>0$ здесь не используется, но оно необходимо для утверждения «б» и обратных утверждений.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Докажем утверждение методом математической индукции по $k$.
База индукции: При $k=1$. По условию дано $a > b$, следовательно $a^1 > b^1$, что верно.
Шаг индукции: Предположим, что для некоторого натурального числа $n$ утверждение верно, то есть $a^n > b^n$. Докажем, что оно верно и для $k=n+1$.
Рассмотрим $a^{n+1} = a^n \cdot a$.
По предположению индукции, $a^n > b^n$. По условию, $a > 0$, поэтому мы можем умножить обе части неравенства $a^n > b^n$ на $a$, сохранив знак неравенства:
$a^n \cdot a > b^n \cdot a$, то есть $a^{n+1} > b^n \cdot a$.
Также по условию $a > b$. Так как $b>0$, то и $b^n>0$. Умножим обе части неравенства $a > b$ на $b^n$, сохранив знак неравенства:
$a \cdot b^n > b \cdot b^n$, то есть $a \cdot b^n > b^{n+1}$.
Теперь у нас есть два неравенства: $a^{n+1} > a \cdot b^n$ и $a \cdot b^n > b^{n+1}$.
Используя свойство транзитивности неравенств, получаем:
$a^{n+1} > b^{n+1}$.
Шаг индукции доказан. Следовательно, утверждение $a^k > b^k$ верно для любого натурального $k$.

Ответ: Утверждение доказано.

Обратное утверждение к «а»

Формулировка: Если для положительных чисел $a$ и $b$ и некоторого натурального числа $k$ выполняется равенство $a^k = b^k$, то $a = b$.
Доказательство: Дано, что $a > 0$, $b > 0$, $k \in \mathbb{N}$ и $a^k = b^k$.
Перенесем $b^k$ в левую часть: $a^k - b^k = 0$.
Разделим обе части равенства на $b^k$. Так как $b > 0$, то $b^k > 0$, и такое деление возможно:
$\frac{a^k}{b^k} - 1 = 0$
$(\frac{a}{b})^k = 1$.
Так как $a > 0$ и $b > 0$, то $\frac{a}{b} > 0$. Единственное положительное число, которое при возведении в любую натуральную степень $k$ дает в результате 1, это само число 1.
Следовательно, $\frac{a}{b} = 1$, откуда $a=b$.

Ответ: Утверждение "Если $a > 0, b > 0$ и $a^k = b^k$ для некоторого натурального $k$, то $a = b$" сформулировано и доказано.

Обратное утверждение к «б»

Формулировка: Если для положительных чисел $a$ и $b$ и некоторого натурального числа $k$ выполняется неравенство $a^k > b^k$, то $a > b$.
Доказательство: Дано, что $a > 0$, $b > 0$, $k \in \mathbb{N}$ и $a^k > b^k$.
Рассмотрим разность $a^k - b^k$. По условию $a^k - b^k > 0$.
Используем формулу разности степеней:
$a^k - b^k = (a-b)(a^{k-1} + a^{k-2}b + a^{k-3}b^2 + \dots + ab^{k-2} + b^{k-1})$.
Рассмотрим второй множитель: $(a^{k-1} + a^{k-2}b + \dots + b^{k-1})$.
Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, все слагаемые в этой сумме являются положительными числами. Например, $a^{k-2}b > 0$. Сумма положительных чисел всегда положительна.
Итак, мы имеем произведение двух множителей, которое больше нуля:
$(a-b) \cdot (\text{положительное число}) > 0$.
Чтобы произведение было положительным, оба множителя должны иметь одинаковый знак. Так как второй множитель положителен, то и первый множитель $(a-b)$ должен быть положителен.
$a-b > 0$, откуда следует, что $a > b$.

Ответ: Утверждение "Если $a > 0, b > 0$ и $a^k > b^k$ для некоторого натурального $k$, то $a > b$" сформулировано и доказано.