Номер 1072, страница 282 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Доказываем. Докажите неравенство ($a$, $b$, $c$ — действительные числа) (1072—1074):

1072. а) $\frac{1}{a} \le \frac{1}{b} (a \ge b, ab > 0)$; б) $\frac{1}{a} > \frac{1}{b} (a > b, ab < 0)$.

а) Чтобы доказать неравенство $\frac{1}{a} \le \frac{1}{b}$ при заданных условиях $a \ge b$ и $ab > 0$, рассмотрим их разность $\frac{1}{b} - \frac{1}{a}$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a}{ab} - \frac{b}{ab} = \frac{a - b}{ab}$.
Теперь проанализируем знак числителя и знаменателя полученной дроби.
1. Из условия $a \ge b$ следует, что разность $a - b \ge 0$, то есть числитель является неотрицательным числом.
2. Из условия $ab > 0$ следует, что знаменатель является положительным числом.
Поскольку частное от деления неотрицательного числа на положительное всегда неотрицательно, мы можем заключить, что:
$\frac{a - b}{ab} \ge 0$.
Следовательно, $\frac{1}{b} - \frac{1}{a} \ge 0$, что равносильно $\frac{1}{b} \ge \frac{1}{a}$, или $\frac{1}{a} \le \frac{1}{b}$.
Неравенство доказано.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Чтобы доказать неравенство $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ при заданных условиях $a > b$ и $ab < 0$, рассмотрим разность $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} - \frac{a}{ab} = \frac{b - a}{ab}$.
Теперь проанализируем знак числителя и знаменателя полученной дроби.
1. Из условия $a > b$ следует, что разность $b - a < 0$, то есть числитель является отрицательным числом.
2. Из условия $ab < 0$ следует, что знаменатель является отрицательным числом.
Поскольку частное от деления отрицательного числа на отрицательное всегда положительно, мы можем заключить, что:
$\frac{b - a}{ab} > 0$.
Следовательно, $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} > 0$, что равносильно $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$.
Неравенство доказано.
Ответ: Неравенство доказано.