Номер 1075, страница 282 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Доказываем (1075–1076).

1075. Докажите, что если положительные числа A, B, C, K удовлетворяют неравенствам $A < B$ и $C > K$, то они удовлетворяют и неравенству $\frac{A}{C} < \frac{B}{K}$.

По условию задачи даны положительные числа $A, B, C, K$, для которых выполняются два неравенства: $A < B$ и $C > K$. Требуется доказать, что из этого следует справедливость неравенства $\frac{A}{C} < \frac{B}{K}$.

Для доказательства выполним следующие преобразования, основанные на свойствах неравенств:

1. Рассмотрим первое данное неравенство: $A < B$. Поскольку по условию число $C$ является положительным ($C > 0$), мы можем разделить обе части этого неравенства на $C$, при этом знак неравенства не изменится. Получаем:
$\frac{A}{C} < \frac{B}{C}$

2. Теперь рассмотрим второе данное неравенство: $C > K$. Так как $C$ и $K$ — положительные числа, то для обратных им величин будет выполняться неравенство с противоположным знаком:
$\frac{1}{C} < \frac{1}{K}$
Поскольку число $B$ также положительно ($B > 0$), мы можем умножить обе части этого неравенства на $B$. Знак неравенства при этом не изменится:
$B \cdot \frac{1}{C} < B \cdot \frac{1}{K}$
что равносильно:
$\frac{B}{C} < \frac{B}{K}$

3. На данном этапе мы получили два неравенства:
1) $\frac{A}{C} < \frac{B}{C}$
2) $\frac{B}{C} < \frac{B}{K}$
Используя свойство транзитивности неравенств (если $x < y$ и $y < z$, то $x < z$), мы можем объединить эти два неравенства в одну цепочку:
$\frac{A}{C} < \frac{B}{C} < \frac{B}{K}$

Из этой цепочки неравенств напрямую следует, что левая часть меньше правой, то есть:
$\frac{A}{C} < \frac{B}{K}$

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано.