Номер 1070, страница 282 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1070. а) Справедливо ли неравенство $a^2 + b^2 > a^2$ при любых действительных числах $a$ и $b$?

б) Справедливо ли неравенство $a^2 + b^2 \ge b^2$ при любых действительных числах $a$ и $b$?

а)

Рассмотрим неравенство $a^2 + b^2 > a^2$. Чтобы проверить его справедливость, вычтем из обеих частей неравенства слагаемое $a^2$. Это является равносильным преобразованием.

$a^2 + b^2 - a^2 > a^2 - a^2$

$b^2 > 0$

Теперь проанализируем полученное неравенство $b^2 > 0$. Квадрат действительного числа $b$ будет строго больше нуля только в том случае, если само число $b$ не равно нулю ($b \neq 0$). Если же мы возьмем $b = 0$, то неравенство примет вид $0^2 > 0$, или $0 > 0$, что является ложным утверждением.

Поскольку вопрос ставится о справедливости неравенства для любых действительных чисел $a$ и $b$, а мы нашли случай, когда оно не выполняется (например, при $a=5$ и $b=0$), то данное неравенство не является верным для всех действительных чисел.

Ответ: нет.

б)

Рассмотрим неравенство $a^2 + b^2 \ge b^2$. Аналогично предыдущему пункту, вычтем из обеих частей неравенства слагаемое $b^2$.

$a^2 + b^2 - b^2 \ge b^2 - b^2$

$a^2 \ge 0$

Проанализируем полученное неравенство $a^2 \ge 0$. Квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) всегда является неотрицательным числом, то есть числом, которое больше или равно нулю.

• Если $a > 0$, то $a^2 > 0$.
• Если $a < 0$, то $a^2 > 0$.
• Если $a = 0$, то $a^2 = 0$.

Во всех случаях условие $a^2 \ge 0$ выполняется. Так как это неравенство справедливо для любого действительного числа $a$ и не зависит от значения $b$, то и исходное неравенство $a^2 + b^2 \ge b^2$ справедливо при любых действительных числах $a$ и $b$.

Ответ: да.