Номер 1069, страница 282 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1069. a) Докажите, что если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.

б) Докажите, что если $a > b$ и $c < d$, то $a - c > b - d$.

в) Если числа $a$ и $b$ таковы, что верно неравенство $a > b$, то всегда ли $a^2 > b^2$? Приведите примеры.

а) Дано, что $a > b$ и $c > d$. Докажем, что $a + c > b + d$.
Используем свойство числовых неравенств, которое позволяет прибавлять к обеим частям верного неравенства одно и то же число, сохраняя знак неравенства.
1. Прибавим к обеим частям неравенства $a > b$ число $c$:
$a + c > b + c$ (1)
2. Прибавим к обеим частям неравенства $c > d$ число $b$:
$c + b > d + b$, что эквивалентно $b + c > b + d$ (2)
Теперь у нас есть два неравенства: $a + c > b + c$ и $b + c > b + d$.
По свойству транзитивности неравенств (если $X > Y$ и $Y > Z$, то $X > Z$), из неравенств (1) и (2) следует, что $a + c > b + d$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

б) Дано, что $a > b$ и $c < d$. Докажем, что $a - c > b - d$.
Для доказательства преобразуем неравенство $c < d$. Умножим обе его части на $-1$. Согласно свойству неравенств, при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$(-1) \cdot c > (-1) \cdot d$
$-c > -d$
Теперь у нас есть два неравенства с одинаковым знаком: $a > b$ и $-c > -d$.
Согласно свойству, доказанному в пункте а), мы можем почленно сложить эти неравенства:
$a + (-c) > b + (-d)$
Упростив выражение, получаем:
$a - c > b - d$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

в) Нет, из неравенства $a > b$ не всегда следует, что $a^2 > b^2$.
Верность этого утверждения зависит от знаков чисел $a$ и $b$.

Случай, когда утверждение верно:
Если оба числа $a$ и $b$ — положительные ($a > b > 0$), то неравенство $a^2 > b^2$ будет верным.
Пример: пусть $a=5$, $b=3$. Тогда $5 > 3$ и $5^2 > 3^2$ (так как $25>9$).

Случаи, когда утверждение неверно (контрпримеры):
1. Числа имеют разные знаки. Пусть $a=2$, $b=-3$. Условие $a>b$ выполнено ($2 > -3$). Однако при возведении в квадрат получаем $a^2=2^2=4$, а $b^2=(-3)^2=9$. Таким образом, $a^2 < b^2$ (так как $4 < 9$).
2. Оба числа отрицательные. Пусть $a=-2$, $b=-3$. Условие $a>b$ выполнено ($-2 > -3$). Однако при возведении в квадрат получаем $a^2=(-2)^2=4$, а $b^2=(-3)^2=9$. Таким образом, $a^2 < b^2$ (так как $4 < 9$).

Ответ: Нет, не всегда. Например, если $a = 2$ и $b = -3$, то $a > b$, но $a^2 < b^2$ (поскольку $4 < 9$).