Номер 1074, страница 282 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1074. a) $a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2}(a > 0, b > 0, a + b = 1);$

б) $a^2 + 1 > \frac{2a}{a^2 + 1}.$

а) Требуется доказать неравенство $a^2 + b^2 \ge \frac{1}{2}$ при условиях $a > 0$, $b > 0$ и $a + b = 1$.

Для доказательства воспользуемся методом подстановки. Из условия $a + b = 1$ выразим переменную $b$ через $a$:

$b = 1 - a$

Подставим это выражение в левую часть доказываемого неравенства:

$a^2 + (1 - a)^2 \ge \frac{1}{2}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в левой части:

$a^2 + (1 - 2a + a^2) \ge \frac{1}{2}$

$2a^2 - 2a + 1 \ge \frac{1}{2}$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы сравнить выражение с нулем:

$2a^2 - 2a + 1 - \frac{1}{2} \ge 0$

$2a^2 - 2a + \frac{1}{2} \ge 0$

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

$4a^2 - 4a + 1 \ge 0$

Выражение в левой части представляет собой формулу полного квадрата разности:

$(2a - 1)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной (больше или равен нулю). Следовательно, полученное неравенство справедливо для любого значения $a$. Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство $a^2 + b^2 \ge \frac{1}{2}$ также верно при заданных условиях.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Требуется доказать неравенство $a^2 + 1 > \frac{2a}{a^2 + 1}$ для любого действительного числа $a$.

Преобразуем данное неравенство. Заметим, что знаменатель дроби в правой части, $a^2 + 1$, всегда строго положителен, так как $a^2 \ge 0$, а значит $a^2 + 1 \ge 1$.

Поскольку знаменатель всегда положителен, мы можем умножить обе части неравенства на $a^2 + 1$, при этом знак неравенства не изменится:

$(a^2 + 1)(a^2 + 1) > 2a$

$(a^2 + 1)^2 > 2a$

Перенесем $2a$ в левую часть:

$(a^2 + 1)^2 - 2a > 0$

Раскроем квадрат суммы в левой части:

$a^4 + 2a^2 + 1 - 2a > 0$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить неотрицательные выражения:

$a^4 + a^2 + (a^2 - 2a + 1) > 0$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(a - 1)$:

$a^4 + a^2 + (a - 1)^2 > 0$

Рассмотрим левую часть полученного неравенства. Она состоит из суммы трех слагаемых: $a^4$, $a^2$ и $(a-1)^2$. Каждое из этих слагаемых неотрицательно для любого действительного $a$, то есть $a^4 \ge 0$, $a^2 \ge 0$ и $(a - 1)^2 \ge 0$.

Сумма этих трех слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю одновременно. Условия $a^4 = 0$ и $a^2 = 0$ выполняются при $a = 0$. Условие $(a - 1)^2 = 0$ выполняется при $a = 1$. Невозможно, чтобы $a$ одновременно было равно 0 и 1. Следовательно, эти три слагаемых не могут быть равны нулю одновременно.

Поскольку сумма $a^4 + a^2 + (a - 1)^2$ является суммой неотрицательных чисел и никогда не обращается в ноль, она всегда строго положительна. Таким образом, неравенство $a^4 + a^2 + (a - 1)^2 > 0$ верно для всех действительных $a$, а значит, верно и исходное неравенство.

Ответ: Неравенство доказано.