Номер 1078, страница 283 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1078. В какую погоду самолёт, летящий из Москвы в Санкт-Петербург и обратно, выполнит быстрее рейс: в безветренную или при ветре, дующем с постоянной скоростью от Москвы в направлении Санкт-Петербурга?

Для решения этой задачи необходимо сравнить общее время, затраченное на полет туда и обратно, в двух различных погодных условиях: в безветренную погоду и при наличии постоянного ветра.

Введем следующие обозначения: $S$ — расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга; $v_с$ — собственная скорость самолета (скорость относительно неподвижного воздуха), она постоянна; $v_в$ — скорость ветра.

Случай 1: Безветренная погода

При отсутствии ветра ($v_в = 0$) скорость самолета относительно земли на всем пути равна его собственной скорости $v_с$.

Время полета из Москвы в Санкт-Петербург: $t_1 = \frac{S}{v_с}$.

Время полета из Санкт-Петербурга в Москву: $t_2 = \frac{S}{v_с}$.

Общее время полета $T_{безв}$ в этом случае будет суммой времени полета туда и обратно:

$T_{безв} = t_1 + t_2 = \frac{S}{v_с} + \frac{S}{v_с} = \frac{2S}{v_с}$

Случай 2: Полет с ветром

Ветер дует с постоянной скоростью от Москвы в направлении Санкт-Петербурга. Это значит, что на пути в Санкт-Петербург ветер будет попутным, а на обратном пути — встречным.

При полете из Москвы в Санкт-Петербург скорость самолета относительно земли будет суммой его собственной скорости и скорости ветра: $v_{туда} = v_с + v_в$. Время полета составит:

$t_{туда} = \frac{S}{v_с + v_в}$

При полете обратно, из Санкт-Петербурга в Москву, ветер будет встречным, и скорость самолета относительно земли будет равна разности его собственной скорости и скорости ветра: $v_{обратно} = v_с - v_в$. (Мы должны предположить, что $v_с > v_в$, иначе самолет не сможет лететь против ветра). Время полета составит:

$t_{обратно} = \frac{S}{v_с - v_в}$

Общее время полета $T_{ветр}$ при наличии ветра будет суммой времени полета туда и обратно:

$T_{ветр} = t_{туда} + t_{обратно} = \frac{S}{v_с + v_в} + \frac{S}{v_с - v_в}$

Чтобы сложить эти две дроби, приведем их к общему знаменателю:

$T_{ветр} = \frac{S(v_с - v_в) + S(v_с + v_в)}{(v_с + v_в)(v_с - v_в)} = \frac{S v_с - S v_в + S v_с + S v_в}{v_с^2 - v_в^2} = \frac{2S v_с}{v_с^2 - v_в^2}$

Сравнение времени полета

Теперь сравним выражения для общего времени полета в обоих случаях:

$T_{безв} = \frac{2S}{v_с}$ и $T_{ветр} = \frac{2S v_с}{v_с^2 - v_в^2}$

Для удобства сравнения преобразуем выражение для $T_{безв}$, умножив его числитель и знаменатель на $v_с$:

$T_{безв} = \frac{2S \cdot v_с}{v_с \cdot v_с} = \frac{2S v_с}{v_с^2}$

Теперь мы сравниваем две дроби с одинаковыми числителями ($2S v_с$): $T_{безв} = \frac{2S v_с}{v_с^2}$ и $T_{ветр} = \frac{2S v_с}{v_с^2 - v_в^2}$.

Поскольку ветер существует, его скорость $v_в > 0$, и, следовательно, $v_в^2 > 0$. Это означает, что знаменатель в выражении для $T_{ветр}$ меньше, чем знаменатель в выражении для $T_{безв}$:

$v_с^2 - v_в^2 < v_с^2$

Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Следовательно:

$T_{ветр} > T_{безв}$

Таким образом, общее время полета при наличии ветра всегда больше, чем в безветренную погоду. Выигрыш во времени при полете по ветру оказывается меньше, чем проигрыш во времени на обратном пути против ветра.

Ответ: Самолет выполнит рейс быстрее в безветренную погоду.