Номер 1081, страница 283 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1081. Если система двух линейных неравенств не имеет решений, то следует ли из этого, что каждое неравенство системы не выполняется ни при каких значениях неизвестного?

Нет, из того, что система двух линейных неравенств не имеет решений, не следует, что каждое неравенство системы не выполняется ни при каких значениях неизвестного.

Решение системы неравенств — это множество значений неизвестного, при которых верны все неравенства системы одновременно. Отсутствие решений у системы означает, что множества решений отдельных неравенств не имеют общих элементов, то есть их пересечение является пустым множеством. Однако это не означает, что сами эти множества пусты. Каждое неравенство по отдельности может иметь решения.

Рассмотрим конкретный контрпример. Пусть дана система двух линейных неравенств с одной переменной $x$:

$ \begin{cases} x > 5 \\ x < 2 \end{cases} $

Проанализируем каждое неравенство отдельно:

1. Решением первого неравенства $x > 5$ является любое число, которое больше 5. Например, $x=6$ или $x=10$. Множество решений этого неравенства — интервал $(5; +\infty)$. Очевидно, это неравенство имеет решения.

2. Решением второго неравенства $x < 2$ является любое число, которое меньше 2. Например, $x=1$ или $x=0$. Множество решений этого неравенства — интервал $(-\infty; 2)$. Это неравенство также имеет решения.

Как видно, каждое из неравенств в отдельности имеет бесконечное множество решений. Однако, если мы рассмотрим систему, нам нужно найти такие значения $x$, которые удовлетворяли бы обоим условиям одновременно, то есть были бы и больше 5, и меньше 2. Таких чисел не существует. Пересечение множеств решений $(5; +\infty) \cap (-\infty; 2)$ является пустым множеством ($\emptyset$). Следовательно, данная система не имеет решений.

Этот пример наглядно демонстрирует, что система неравенств может не иметь решений, в то время как каждое из составляющих ее неравенств имеет собственное множество решений.

Ответ: Нет, не следует. Система неравенств может не иметь решений из-за того, что множества решений отдельных неравенств не пересекаются, при этом каждое из этих неравенств по отдельности может иметь решения.