Номер 1077, страница 282 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1077. а) Автомобилист ехал некоторое время со скоростью $a$ км/ч, потом точно такое же время со скоростью $b$ км/ч. Выразите через $a$ и $b$ среднюю скорость движения на всём пути (обозначьте её $v_1$).

б) Автомобилист проехал некоторое расстояние со скоростью $a$ км/ч, потом точно такое же расстояние со скоростью $b$ км/ч. Выразите через $a$ и $b$ среднюю скорость движения на всём пути (обозначьте её $v_2$).

в) Сравните $v_1$ и $v_2$ (см. предыдущие задания).

г) Для положительных чисел $a$ и $b$ различают: среднее арифметическое чисел $a$ и $b$ — число $A = \frac{a+b}{2}$; среднее геометрическое чисел $a$ и $b$ — число $G = \sqrt{ab}$; среднее гармоническое чисел $a$ и $b$ — число $H$, такое, что $\frac{1}{H} = \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2}$, откуда $H = \frac{2ab}{a+b}$. Докажите, что для чисел $G$, $H$ и $A$ справедливо неравенство $H \le G \le A$.

а) Средняя скорость движения $v_{ср}$ определяется как отношение всего пройденного пути $S_{общ}$ ко всему затраченному времени $t_{общ}$.
Пусть автомобилист ехал в течение времени $t$ с каждой из скоростей.
Расстояние, пройденное на первом участке: $S_1 = a \cdot t$.
Расстояние, пройденное на втором участке: $S_2 = b \cdot t$.
Общий путь: $S_{общ} = S_1 + S_2 = at + bt = (a+b)t$.
Общее время: $t_{общ} = t + t = 2t$.
Средняя скорость $v_1$:
$v_1 = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{(a+b)t}{2t} = \frac{a+b}{2}$.
Ответ: $v_1 = \frac{a+b}{2}$.

б) Пусть автомобилист проехал расстояние $S$ с каждой из скоростей.
Время, затраченное на первом участке: $t_1 = \frac{S}{a}$.
Время, затраченное на втором участке: $t_2 = \frac{S}{b}$.
Общий путь: $S_{общ} = S + S = 2S$.
Общее время: $t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{a} + \frac{S}{b} = S(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = S \frac{a+b}{ab}$.
Средняя скорость $v_2$:
$v_2 = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{2S}{S \frac{a+b}{ab}} = \frac{2}{\frac{a+b}{ab}} = \frac{2ab}{a+b}$.
Ответ: $v_2 = \frac{2ab}{a+b}$.

в) Сравним выражения для скоростей $v_1 = \frac{a+b}{2}$ и $v_2 = \frac{2ab}{a+b}$. Для этого найдем их разность. Скорости $a$ и $b$ являются положительными величинами.
$v_1 - v_2 = \frac{a+b}{2} - \frac{2ab}{a+b}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $2(a+b)$:
$v_1 - v_2 = \frac{(a+b)(a+b) - 2ab \cdot 2}{2(a+b)} = \frac{(a+b)^2 - 4ab}{2(a+b)}$.
Раскроем скобки в числителе:
$v_1 - v_2 = \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 4ab}{2(a+b)} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{2(a+b)} = \frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$.
Так как $a>0$ и $b>0$, знаменатель $2(a+b)$ всегда положителен. Числитель $(a-b)^2$ всегда неотрицателен (как квадрат любого числа).
Следовательно, $v_1 - v_2 \ge 0$, откуда $v_1 \ge v_2$.
Равенство достигается только при $a=b$. В этом случае $v_1 = v_2 = a$.
Ответ: $v_1 \ge v_2$.

г) Требуется доказать неравенство $H \le G \le A$ для положительных чисел $a$ и $b$, где $A = \frac{a+b}{2}$ (среднее арифметическое), $G = \sqrt{ab}$ (среднее геометрическое), и $H = \frac{2ab}{a+b}$ (среднее гармоническое).
Доказательство проведем в два этапа.

1. Докажем неравенство $G \le A$, то есть $\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}$.
Так как $a$ и $b$ положительны, обе части неравенства положительны. Мы можем возвести обе части в квадрат, не меняя знака неравенства:
$(\sqrt{ab})^2 \le (\frac{a+b}{2})^2$
$ab \le \frac{(a+b)^2}{4}$
$4ab \le a^2 + 2ab + b^2$
$0 \le a^2 - 2ab + b^2$
$0 \le (a-b)^2$.
Последнее неравенство является верным для любых действительных чисел $a$ и $b$, так как квадрат любого числа неотрицателен. Равенство достигается при $a=b$. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство $G \le A$ также верно.

2. Докажем неравенство $H \le G$, то есть $\frac{2ab}{a+b} \le \sqrt{ab}$.
Обе части неравенства положительны. Возведем их в квадрат:
$(\frac{2ab}{a+b})^2 \le (\sqrt{ab})^2$
$\frac{4a^2b^2}{(a+b)^2} \le ab$.
Поскольку $ab > 0$, разделим обе части на $ab$:
$\frac{4ab}{(a+b)^2} \le 1$.
Умножим обе части на $(a+b)^2 > 0$:
$4ab \le (a+b)^2$.
Это то же самое неравенство, что и в первом пункте, которое сводится к $0 \le (a-b)^2$. Оно всегда верно. Равенство достигается при $a=b$.

Объединяя результаты, получаем, что для любых положительных $a$ и $b$ справедливо двойное неравенство $H \le G \le A$.
Ответ: Неравенство $H \le G \le A$ доказано.