Номер 1079, страница 283 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1079. Доказываем. Докажите, что сумма квадратов двух различных положительных чисел больше удвоенного произведения этих чисел.

$a^2 + b^2 > 2ab$

Доказываем.

Пусть $a$ и $b$ — два различных положительных числа. Согласно условию задачи: $a > 0$, $b > 0$ и $a \neq b$.

Требуется доказать, что сумма их квадратов больше удвоенного произведения этих чисел. Запишем это в виде неравенства: $a^2 + b^2 > 2ab$

Для доказательства выполним равносильные преобразования. Перенесём член $2ab$ из правой части неравенства в левую с противоположным знаком: $a^2 - 2ab + b^2 > 0$

Левая часть полученного неравенства представляет собой формулу сокращенного умножения — квадрат разности двух чисел: $(a - b)^2 > 0$

Рассмотрим полученное неравенство. Известно, что квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной (то есть больше или равен нулю). Равенство $(a - b)^2 = 0$ возможно только в том случае, если $a - b = 0$, то есть $a = b$.

Однако по условию задачи числа $a$ и $b$ — различные, что означает $a \neq b$. Следовательно, разность $a - b$ не равна нулю ($a - b \neq 0$). Поэтому квадрат этой разности $(a - b)^2$ будет всегда строго положительным числом.

Таким образом, неравенство $(a - b)^2 > 0$ истинно для любых различных чисел $a$ и $b$. Поскольку все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $a^2 + b^2 > 2ab$ также является истинным. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.