Номер 1080, страница 283 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1080. Какое наименьшее значение может принять выражение $a^2 + b^2$, если $a > 0, b > 0, a + b = 2$?

Для нахождения наименьшего значения выражения $a^2 + b^2$ при заданных условиях можно использовать несколько способов.

Способ 1. Преобразование выражения и анализ квадратичной функции

Из условия $a + b = 2$ выразим одну переменную через другую, например, $b$ через $a$: $b = 2 - a$.

Так как по условию $b > 0$, то $2 - a > 0$, откуда следует, что $a < 2$. Также дано, что $a > 0$. Таким образом, значения $a$ лежат в интервале $(0; 2)$.

Подставим выражение для $b$ в исходное выражение $a^2 + b^2$, которое мы хотим минимизировать. Обозначим его как $S$:

$S(a) = a^2 + (2 - a)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$S(a) = a^2 + (4 - 4a + a^2) = 2a^2 - 4a + 4$

Мы получили квадратичную функцию $S(a) = 2a^2 - 4a + 4$. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $a^2$ положителен ($2 > 0$). Наименьшее значение такой функции достигается в ее вершине.

Координата вершины параболы по оси абсцисс ($a$) вычисляется по формуле $a_0 = -\frac{k}{2m}$, где $m$ — коэффициент при $a^2$, а $k$ — коэффициент при $a$.

$a_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Полученное значение $a = 1$ принадлежит интервалу $(0; 2)$, поэтому оно нам подходит. Найдем соответствующее значение $b$:

$b = 2 - a = 2 - 1 = 1$

Значения $a=1$ и $b=1$ удовлетворяют всем условиям задачи ($a>0$, $b>0$, $a+b=2$).

Теперь вычислим наименьшее значение выражения, подставив найденные значения $a$ и $b$:

$S_{min} = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

Способ 2. Использование неравенства о средних

Воспользуемся неравенством между средним квадратичным и средним арифметическим для двух положительных чисел $a$ и $b$. Оно гласит:

$\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \ge \frac{a+b}{2}$

По условию задачи $a + b = 2$. Подставим это значение в неравенство:

$\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \ge \frac{2}{2}$

$\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \ge 1$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$\frac{a^2 + b^2}{2} \ge 1^2$

$\frac{a^2 + b^2}{2} \ge 1$

Умножим обе части на 2:

$a^2 + b^2 \ge 2$

Из этого неравенства следует, что наименьшее возможное значение выражения $a^2 + b^2$ равно 2. Равенство в неравенстве о средних достигается тогда и только тогда, когда числа равны, то есть $a = b$.

Из системы уравнений:

$\begin{cases} a+b=2 \\ a=b \end{cases}$

находим, что $a = 1$ и $b = 1$. Эти значения удовлетворяют условиям $a > 0$ и $b > 0$.

Таким образом, наименьшее значение выражения $a^2 + b^2$ равно 2 и достигается при $a = 1, b = 1$.

Ответ: 2