Номер 1082, страница 283 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1082. Одна сторона треугольника равна $6 \text{ м}$, а сумма двух других $14 \text{ м}$. Определите возможные длины сторон треугольника, если они выражаются натуральными числами.

Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$.

Согласно условию задачи, одна из сторон равна 6 м. Пусть $a = 6$ м.

Сумма двух других сторон составляет 14 м, то есть $b + c = 14$ м.

Также дано, что длины всех сторон являются натуральными числами, то есть $a, b, c \in \mathbb{N}$.

Для того чтобы треугольник с такими сторонами мог существовать, должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Запишем систему неравенств:
$a + b > c$
$a + c > b$
$b + c > a$

Подставим известные значения в эти неравенства.

1. Проверим неравенство $b + c > a$:
Подставляем $b+c=14$ и $a=6$:
$14 > 6$. Это неравенство всегда выполняется.

2. Проверим неравенство $a + b > c$:
Подставляем $a = 6$: $6 + b > c$.
Из равенства $b + c = 14$ выразим $c$ как $c = 14 - b$.
Подставим это в неравенство: $6 + b > 14 - b$.
Теперь решим это неравенство относительно $b$:
$2b > 14 - 6$
$2b > 8$
$b > 4$

3. Проверим неравенство $a + c > b$:
Подставляем $a = 6$: $6 + c > b$.
Снова используем выражение $c = 14 - b$:
$6 + (14 - b) > b$
$20 - b > b$
$20 > 2b$
$10 > b$, что то же самое, что и $b < 10$.

Итак, мы получили, что длина стороны $b$ должна удовлетворять двойному неравенству $4 < b < 10$.

Поскольку $b$ является натуральным числом, его возможные значения: 5, 6, 7, 8, 9.

Для каждого возможного значения $b$ найдем соответствующее значение $c$ из уравнения $c = 14 - b$:
- Если $b = 5$ м, то $c = 14 - 5 = 9$ м. Получаем треугольник со сторонами (6 м, 5 м, 9 м).
- Если $b = 6$ м, то $c = 14 - 6 = 8$ м. Получаем треугольник со сторонами (6 м, 6 м, 8 м).
- Если $b = 7$ м, то $c = 14 - 7 = 7$ м. Получаем треугольник со сторонами (6 м, 7 м, 7 м).
- Если $b = 8$ м, то $c = 14 - 8 = 6$ м. Получаем треугольник со сторонами (6 м, 8 м, 6 м). Этот набор сторон совпадает с одним из уже найденных.
- Если $b = 9$ м, то $c = 14 - 9 = 5$ м. Получаем треугольник со сторонами (6 м, 9 м, 5 м). Этот набор сторон также совпадает с одним из уже найденных.

Таким образом, существует три уникальных набора длин сторон, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: Возможные наборы длин сторон треугольника: (6 м, 5 м, 9 м), (6 м, 6 м, 8 м), (6 м, 7 м, 7 м).