Номер 1071, страница 282 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1071. a) Может ли неравенство $a^2x > a$ (a — любое данное действительное число) не иметь решений?

a)

Рассмотрим данное неравенство $a^2x > a$, где $a$ — это параметр (любое данное действительное число), а $x$ — переменная. Чтобы ответить на вопрос, может ли это неравенство не иметь решений, нужно проанализировать его при разных значениях параметра $a$.

Решение линейного неравенства зависит от коэффициента при переменной $x$. В данном случае этот коэффициент равен $a^2$. Рассмотрим два основных случая.

Случай 1: $a \neq 0$

Если параметр $a$ не равен нулю, то его квадрат $a^2$ всегда будет строго положительным числом ($a^2 > 0$). Мы можем разделить обе части неравенства на $a^2$, при этом знак неравенства не изменится:
$x > \frac{a}{a^2}$
Сократив дробь в правой части, получим:
$x > \frac{1}{a}$
Решением неравенства в этом случае является открытый луч $(\frac{1}{a}, +\infty)$. Это множество содержит бесконечное число решений. Например, $x = \frac{1}{a} + 1$ является решением. Таким образом, при $a \neq 0$ неравенство всегда имеет решения.

Случай 2: $a = 0$

Если параметр $a$ равен нулю, подставим это значение в исходное неравенство:
$0^2 \cdot x > 0$
$0 \cdot x > 0$
$0 > 0$
Мы получили неверное числовое неравенство $0 > 0$. Левая часть ($0 \cdot x$) всегда равна нулю, независимо от значения $x$, а ноль не может быть строго больше самого себя. Следовательно, не существует ни одного значения $x$, при котором это неравенство было бы верным.

Таким образом, мы нашли условие, при котором неравенство не имеет решений.

Ответ: Да, может. Если $a = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot x > 0$, или $0 > 0$, что является ложным утверждением, поэтому при $a=0$ неравенство не имеет решений.