Номер 1067, страница 281 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1067. a) Могут ли одновременно быть справедливыми неравенства $a > b$ и $a < b$?

б) Могут ли одновременно быть справедливыми неравенства $a \le b$ и $b \le a$?

а) Могут ли одновременно быть справедливыми неравенства $a > b$ и $a < b$?

Для ответа на этот вопрос обратимся к определению знаков неравенства и свойству упорядоченности действительных чисел.

Неравенство $a > b$ означает, что число $a$ строго больше числа $b$. На числовой оси точка, соответствующая числу $a$, находится правее точки, соответствующей числу $b$.

Неравенство $a < b$ означает, что число $a$ строго меньше числа $b$. На числовой оси точка, соответствующая числу $a$, находится левее точки, соответствующей числу $b$.

Очевидно, что одно и то же число $a$ не может одновременно находиться и правее, и левее другого числа $b$. Это противоречит основному свойству числовой прямой.

Это свойство формально называется законом трихотомии, который гласит, что для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ выполняется ровно одно из трех соотношений:

1. $a > b$ ($a$ больше $b$)

2. $a < b$ ($a$ меньше $b$)

3. $a = b$ ($a$ равно $b$)

Поскольку $a > b$ и $a < b$ — это два разных, взаимоисключающих случая из этого закона, они не могут быть истинными одновременно.

Ответ: нет.

б) Могут ли одновременно быть справедливыми неравенства $a \le b$ и $b \le a$?

Рассмотрим эти два нестрогих неравенства.

Неравенство $a \le b$ означает, что "$a$ меньше или равно $b$". Это утверждение истинно, если выполняется хотя бы одно из двух условий: $a < b$ или $a = b$.

Аналогично, неравенство $b \le a$ означает, что "$b$ меньше или равно $a$". Это утверждение истинно, если выполняется хотя бы одно из двух условий: $b < a$ (что эквивалентно $a > b$) или $b = a$.

Чтобы оба неравенства, $a \le b$ и $b \le a$, были справедливы одновременно, нужно, чтобы выполнялась комбинация условий, которая удовлетворяет обоим.

Мы должны иметь: ($a < b$ или $a = b$) И ($a > b$ или $a = b$).

Как мы выяснили в пункте а), случаи $a < b$ и $a > b$ несовместимы. Значит, комбинация ($a < b$ и $a > b$) невозможна.

Единственный вариант, при котором оба составных утверждения могут быть истинными, — это когда выполняется условие, общее для обоих: $a = b$.

Давайте проверим этот случай. Если $a = b$, то:

- Первое неравенство $a \le b$ принимает вид $a \le a$. Это верно, так как $a$ равно $a$.

- Второе неравенство $b \le a$ принимает вид $a \le a$. Это также верно.

Например, если $a = 7$ и $b = 7$, то неравенства $7 \le 7$ и $7 \le 7$ оба справедливы.

Следовательно, эти два неравенства могут быть справедливыми одновременно.

Ответ: да, если $a = b$.