Номер 1068, страница 282 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1068. а) Если $a > b$, то всегда ли верно неравенство $ac > bc$? Приведите примеры.

б) Если $a > b$, то верно ли неравенство $-a < -b$?

в) Известно, что $c < d$. Верно ли неравенство $c(a^2 + 1) < d(a^2 + 1)$, где $a$ — любое действительное число?

а) Нет, не всегда. Утверждение, что если $a > b$, то всегда верно неравенство $ac > bc$, справедливо только в том случае, когда число $c$ положительно. В других случаях оно может быть неверным. Рассмотрим все возможные случаи для $c$.

1. Если $c > 0$ (положительное число).
При умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется.Пример: Пусть $a=5$, $b=2$, $c=4$. Имеем $5 > 2$. Умножаем на $c=4$: $5 \cdot 4 > 2 \cdot 4$, что дает верное неравенство $20 > 8$. В этом случае $ac > bc$ верно.

2. Если $c < 0$ (отрицательное число).
При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.Пример: Пусть $a=5$, $b=2$, $c=-4$. Имеем $5 > 2$. Умножаем на $c=-4$: $5 \cdot (-4) < 2 \cdot (-4)$, что дает $-20 < -8$. Исходное неравенство $ac > bc$ в этом случае неверно.

3. Если $c = 0$.
При умножении на ноль обе части неравенства становятся равными нулю.Пример: Пусть $a=5$, $b=2$, $c=0$. Имеем $5 > 2$. Умножаем на $c=0$: $5 \cdot 0 = 2 \cdot 0$, что дает $0 = 0$. Строгое неравенство $ac > bc$ в этом случае неверно.

Ответ: Нет, не всегда. Неравенство $ac > bc$ верно только при $c > 0$.

б) Да, это утверждение всегда верно. Оно следует из основного свойства числовых неравенств: при умножении обеих частей верного неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. В данном случае неравенство $a > b$ умножается на $-1$:

$a \cdot (-1) < b \cdot (-1)$

$-a < -b$

Следовательно, из $a > b$ всегда следует $-a < -b$.

Ответ: Да, верно.

в) Да, это неравенство всегда верно. Чтобы определить, сохраняется ли знак неравенства $c < d$ при умножении его частей на выражение $(a^2 + 1)$, нужно определить знак этого выражения.

Для любого действительного числа $a$ его квадрат $a^2$ является неотрицательным, то есть $a^2 \ge 0$.

Следовательно, выражение $a^2 + 1$ всегда будет строго положительным, так как $a^2 + 1 \ge 0 + 1$, то есть $a^2 + 1 \ge 1$.

Поскольку мы умножаем обе части верного неравенства $c < d$ на строго положительное число $(a^2 + 1)$, знак неравенства по свойству неравенств сохраняется. Таким образом, неравенство $c(a^2 + 1) < d(a^2 + 1)$ верно для любого действительного числа $a$.

Ответ: Да, верно.