Номер 820, страница 257 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

820. a) $\frac{\left(7\frac{1}{3}\right)^2 - \left(2\frac{2}{3}\right)^2}{\left(5\frac{7}{9}\right)^2 - \left(4\frac{2}{9}\right)^2}$;

б) $\frac{\left(7\frac{3}{7}\right)^2 - \left(\frac{6}{7}\right)^2}{\left(17\frac{11}{14}\right)^2 - \left(11\frac{3}{14}\right)^2}$.

а) Для решения данного примера воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, так как она позволяет значительно упростить вычисления.
Исходное выражение: $ \frac{\left(7\frac{1}{3}\right)^2 - \left(2\frac{2}{3}\right)^2}{\left(5\frac{7}{9}\right)^2 - \left(4\frac{2}{9}\right)^2} $.

1. Преобразуем числитель дроби, применив формулу разности квадратов:
$ \left(7\frac{1}{3}\right)^2 - \left(2\frac{2}{3}\right)^2 = \left(7\frac{1}{3} - 2\frac{2}{3}\right)\left(7\frac{1}{3} + 2\frac{2}{3}\right) $.
Вычислим значения выражений в скобках:
$ 7\frac{1}{3} - 2\frac{2}{3} = \frac{22}{3} - \frac{8}{3} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} $.
$ 7\frac{1}{3} + 2\frac{2}{3} = (7+2) + \left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\right) = 9 + 1 = 10 $.
Таким образом, значение числителя равно: $ 4\frac{2}{3} \cdot 10 = \frac{14}{3} \cdot 10 = \frac{140}{3} $.

2. Преобразуем знаменатель дроби, также используя формулу разности квадратов:
$ \left(5\frac{7}{9}\right)^2 - \left(4\frac{2}{9}\right)^2 = \left(5\frac{7}{9} - 4\frac{2}{9}\right)\left(5\frac{7}{9} + 4\frac{2}{9}\right) $.
Вычислим значения выражений в скобках:
$ 5\frac{7}{9} - 4\frac{2}{9} = (5-4) + \left(\frac{7}{9}-\frac{2}{9}\right) = 1 + \frac{5}{9} = 1\frac{5}{9} $.
$ 5\frac{7}{9} + 4\frac{2}{9} = (5+4) + \left(\frac{7}{9}+\frac{2}{9}\right) = 9 + 1 = 10 $.
Таким образом, значение знаменателя равно: $ 1\frac{5}{9} \cdot 10 = \frac{14}{9} \cdot 10 = \frac{140}{9} $.

3. Найдем значение всего выражения, подставив вычисленные значения числителя и знаменателя:
$ \frac{\frac{140}{3}}{\frac{140}{9}} = \frac{140}{3} \div \frac{140}{9} = \frac{140}{3} \cdot \frac{9}{140} = \frac{9}{3} = 3 $.

Ответ: 3.

б) Аналогично предыдущему примеру, воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Исходное выражение: $ \frac{\left(7\frac{3}{7}\right)^2 - \left(\frac{6}{7}\right)^2}{\left(17\frac{11}{14}\right)^2 - \left(11\frac{3}{14}\right)^2} $.

1. Преобразуем числитель дроби:
$ \left(7\frac{3}{7}\right)^2 - \left(\frac{6}{7}\right)^2 = \left(7\frac{3}{7} - \frac{6}{7}\right)\left(7\frac{3}{7} + \frac{6}{7}\right) $.
Вычислим значения в скобках:
$ 7\frac{3}{7} - \frac{6}{7} = 6\frac{10}{7} - \frac{6}{7} = 6\frac{4}{7} $.
$ 7\frac{3}{7} + \frac{6}{7} = 7 + \frac{3+6}{7} = 7 + \frac{9}{7} = 7 + 1\frac{2}{7} = 8\frac{2}{7} $.
Таким образом, числитель равен произведению $ \left(6\frac{4}{7}\right) \cdot \left(8\frac{2}{7}\right) $.

2. Преобразуем знаменатель дроби:
$ \left(17\frac{11}{14}\right)^2 - \left(11\frac{3}{14}\right)^2 = \left(17\frac{11}{14} - 11\frac{3}{14}\right)\left(17\frac{11}{14} + 11\frac{3}{14}\right) $.
Вычислим значения в скобках:
$ 17\frac{11}{14} - 11\frac{3}{14} = (17-11) + \left(\frac{11}{14}-\frac{3}{14}\right) = 6 + \frac{8}{14} = 6\frac{4}{7} $.
$ 17\frac{11}{14} + 11\frac{3}{14} = (17+11) + \left(\frac{11}{14}+\frac{3}{14}\right) = 28 + \frac{14}{14} = 28 + 1 = 29 $.
Таким образом, знаменатель равен произведению $ \left(6\frac{4}{7}\right) \cdot 29 $.

3. Подставим полученные выражения для числителя и знаменателя в исходную дробь:
$ \frac{\left(6\frac{4}{7}\right) \cdot \left(8\frac{2}{7}\right)}{\left(6\frac{4}{7}\right) \cdot 29} $.
Сократим общий множитель $ 6\frac{4}{7} $ в числителе и знаменателе:
$ \frac{8\frac{2}{7}}{29} = \frac{\frac{58}{7}}{29} = \frac{58}{7 \cdot 29} $.
Так как $ 58 = 2 \cdot 29 $, можем сократить дробь на 29:
$ \frac{2 \cdot 29}{7 \cdot 29} = \frac{2}{7} $.

Ответ: $ \frac{2}{7} $.