Номер 827, страница 258 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

827. a) $2 - \frac{1000}{1001} + \frac{999}{1001} - \frac{998}{1001} + \frac{997}{1001} - \frac{996}{1001} + \ldots + \frac{1}{1001};$

б) $5 - \frac{1002}{1003} + \frac{1001}{1003} - \frac{1000}{1003} + \frac{999}{1003} - \frac{998}{1003} + \ldots + \frac{35}{1003}.$

а) Рассмотрим данное выражение:

$2 - \frac{1000}{1001} + \frac{999}{1001} - \frac{998}{1001} + \frac{997}{1001} - \frac{996}{1001} + \dots + \frac{1}{1001}$

Сначала вынесем общий знаменатель 1001 за скобки для всех дробей и представим 2 как дробь с тем же знаменателем. Это позволит нам работать только с числителями.

$2 = \frac{2 \times 1001}{1001} = \frac{2002}{1001}$

Теперь все выражение можно записать в виде одной дроби:

$\frac{2002 - (1000 - 999 + 998 - 997 + 996 - \dots - 1)}{1001}$

Давайте сгруппируем члены в скобках в числителе. Удобнее сгруппировать их следующим образом:

$(- \frac{1000}{1001} + \frac{999}{1001}) + (- \frac{998}{1001} + \frac{997}{1001}) + \dots + (- \frac{2}{1001} + \frac{1}{1001})$

Каждая такая пара дает в сумме:

$\frac{-1000+999}{1001} = -\frac{1}{1001}$

$\frac{-998+997}{1001} = -\frac{1}{1001}$

и так далее до последней пары:

$\frac{-2+1}{1001} = -\frac{1}{1001}$

Теперь нужно посчитать, сколько таких пар. Ряд числителей идет от 1000 до 1, что составляет 1000 чисел. Поскольку мы группируем их по два, количество пар будет:

$1000 \div 2 = 500$ пар

Сумма всех этих пар равна:

$500 \times (-\frac{1}{1001}) = -\frac{500}{1001}$

Теперь вернемся к исходному выражению, подставив найденную сумму:

$2 - \frac{500}{1001} = \frac{2002}{1001} - \frac{500}{1001} = \frac{2002 - 500}{1001} = \frac{1502}{1001}$

Дробь $\frac{1502}{1001}$ является несократимой. Ее можно представить в виде смешанного числа:

$1502 \div 1001 = 1$ и $501$ в остатке, то есть $1 \frac{501}{1001}$.

Ответ: $\frac{1502}{1001}$ или $1 \frac{501}{1001}$.

б) Рассмотрим данное выражение:

$5 - \frac{1002}{1003} + \frac{1001}{1003} - \frac{1000}{1003} + \frac{999}{1003} - \frac{998}{1003} + \dots + \frac{35}{1003}$

Как и в предыдущем пункте, сгруппируем дроби в пары. Заметим, что знаки чередуются: минус, плюс, минус, плюс и так далее. Числитель 1002 (четное число) имеет знак минус, а числитель 1001 (нечетное) — знак плюс. Последний член ряда, 35, нечетный, поэтому перед ним стоит знак плюс, что соответствует условию.

Сгруппируем дроби в пары:

$(-\frac{1002}{1003} + \frac{1001}{1003}) + (-\frac{1000}{1003} + \frac{999}{1003}) + \dots + (-\frac{36}{1003} + \frac{35}{1003})$

Сумма каждой такой пары равна:

$\frac{-1002+1001}{1003} = -\frac{1}{1003}$

Последняя пара также равна:

$\frac{-36+35}{1003} = -\frac{1}{1003}$

Теперь посчитаем количество пар. Ряд числителей идет от 1002 до 35 включительно. Количество чисел в этом ряду равно:

$1002 - 35 + 1 = 968$ чисел

Поскольку мы группируем их по два, количество пар будет:

$968 \div 2 = 484$ пары

Сумма всех этих пар равна:

$484 \times (-\frac{1}{1003}) = -\frac{484}{1003}$

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$5 - \frac{484}{1003} = \frac{5 \times 1003}{1003} - \frac{484}{1003} = \frac{5015 - 484}{1003} = \frac{4531}{1003}$

Дробь $\frac{4531}{1003}$ является несократимой. Ее можно представить в виде смешанного числа:

$4531 \div 1003 = 4$ и $519$ в остатке, то есть $4 \frac{519}{1003}$.

Ответ: $\frac{4531}{1003}$ или $4 \frac{519}{1003}$.