Номер 826, страница 258 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

826. a) $1 - 2 + 3 - 4 + \dots + 2007 - 2008 + 2009 - 2010;$

б) $2 - 4 + 6 - 8 + \dots + 2006 - 2008 + 2010 - 2012.$

а) $1 - 2 + 3 - 4 + ... + 2007 - 2008 + 2009 - 2010$

Данное выражение представляет собой сумму, в которой знаки членов чередуются. Для нахождения значения этой суммы удобно сгруппировать слагаемые попарно:

$(1 - 2) + (3 - 4) + ... + (2007 - 2008) + (2009 - 2010)$

Каждая такая пара дает в сумме $-1$:
$1 - 2 = -1$
$3 - 4 = -1$
...
$2009 - 2010 = -1$

Чтобы найти итоговую сумму, нужно определить, сколько таких пар в выражении. Всего в выражении 2010 слагаемых (от 1 до 2010). Так как мы группируем их по два, количество пар будет:

$2010 / 2 = 1005$ пар.

Следовательно, итоговая сумма равна произведению количества пар на значение каждой пары:

$1005 \cdot (-1) = -1005$

Ответ: $-1005$

б) $2 - 4 + 6 - 8 + ... + 2006 - 2008 + 2010 - 2012$

Аналогично предыдущему пункту, сгруппируем слагаемые попарно:

$(2 - 4) + (6 - 8) + ... + (2006 - 2008) + (2010 - 2012)$

Сумма каждой пары равна $-2$:
$2 - 4 = -2$
$6 - 8 = -2$
...
$2010 - 2012 = -2$

Теперь определим количество слагаемых в выражении. Все слагаемые — это последовательные четные числа от 2 до 2012. Каждое слагаемое можно представить в виде $2k$, где $k$ — натуральное число. Для первого слагаемого $k=1$, для второго $k=2$, и так далее. Для последнего слагаемого 2012 имеем:

$2k = 2012 \Rightarrow k = 1006$

Таким образом, в выражении всего 1006 слагаемых. Количество пар будет:

$1006 / 2 = 503$ пары.

Итоговая сумма равна произведению количества пар на значение каждой пары:

$503 \cdot (-2) = -1006$

Ответ: $-1006$