Номер 822, страница 257 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

822. Верно ли равенство:

а) $\left(2\frac{3}{7}-\frac{5}{7}\right)\cdot \frac{7}{24} = \left(\frac{3}{8}+1\frac{13}{16}\right): 4\frac{3}{8};$

б) $\left(5\frac{2}{11}-\frac{9}{11}\right)\cdot \frac{5}{24} = \left(\frac{3}{22}+\frac{57}{33}\right): 2\frac{1}{20};$

в) $123,456 \cdot 98,7654 \cdot 2,0017 = 1,23456 \cdot 98765,4 \cdot 0,20017;$

г) $135,79 \cdot 2,468 \cdot 0,2009 = 13,579 \cdot 200,9 \cdot 0,2468?$

а)

Проверим верность равенства: $(2\frac{3}{7} - \frac{5}{7}) \cdot \frac{7}{24} = (\frac{3}{8} + 1\frac{13}{16}) : 4\frac{3}{8}$.

1. Вычислим значение выражения в левой части равенства:

Первое действие — вычитание в скобках. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{17}{7}$.

$\frac{17}{7} - \frac{5}{7} = \frac{17-5}{7} = \frac{12}{7}$.

Второе действие — умножение:

$\frac{12}{7} \cdot \frac{7}{24} = \frac{12 \cdot 7}{7 \cdot 24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.

Итак, левая часть равна $\frac{1}{2}$.

2. Вычислим значение выражения в правой части равенства:

Первое действие — сложение в скобках. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь $1\frac{13}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 13}{16} = \frac{29}{16}$ и приведем дроби к общему знаменателю 16.

$\frac{3}{8} + \frac{29}{16} = \frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{29}{16} = \frac{6}{16} + \frac{29}{16} = \frac{35}{16}$.

Второе действие — деление. Преобразуем делитель в неправильную дробь: $4\frac{3}{8} = \frac{4 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{35}{8}$.

$\frac{35}{16} : \frac{35}{8} = \frac{35}{16} \cdot \frac{8}{35} = \frac{35 \cdot 8}{16 \cdot 35} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.

Итак, правая часть равна $\frac{1}{2}$.

3. Сравним результаты:

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Поскольку левая и правая части равны, равенство верно.

Ответ: равенство верно.

б)

Проверим верность равенства: $(5\frac{2}{11} - \frac{9}{11}) \cdot \frac{5}{24} = (\frac{3}{22} + \frac{57}{33}) : 2\frac{1}{20}$.

1. Вычислим левую часть:

Выполним вычитание: $5\frac{2}{11} - \frac{9}{11} = 4 + 1\frac{2}{11} - \frac{9}{11} = 4 + \frac{13}{11} - \frac{9}{11} = 4\frac{4}{11}$.

Выполним умножение, предварительно переведя $4\frac{4}{11}$ в неправильную дробь: $4\frac{4}{11} = \frac{4 \cdot 11 + 4}{11} = \frac{48}{11}$.

$\frac{48}{11} \cdot \frac{5}{24} = \frac{48 \cdot 5}{11 \cdot 24} = \frac{2 \cdot 5}{11} = \frac{10}{11}$.

Левая часть равна $\frac{10}{11}$.

2. Вычислим правую часть:

Выполним сложение. Сначала сократим дробь $\frac{57}{33} = \frac{19 \cdot 3}{11 \cdot 3} = \frac{19}{11}$. Затем приведем дроби к общему знаменателю 22.

$\frac{3}{22} + \frac{19}{11} = \frac{3}{22} + \frac{19 \cdot 2}{11 \cdot 2} = \frac{3}{22} + \frac{38}{22} = \frac{41}{22}$.

Выполним деление. Преобразуем $2\frac{1}{20}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{20} = \frac{2 \cdot 20 + 1}{20} = \frac{41}{20}$.

$\frac{41}{22} : \frac{41}{20} = \frac{41}{22} \cdot \frac{20}{41} = \frac{20}{22} = \frac{10}{11}$.

Правая часть равна $\frac{10}{11}$.

3. Сравним результаты:

$\frac{10}{11} = \frac{10}{11}$.

Равенство верно.

Ответ: равенство верно.

в)

Проверим верность равенства: $123,456 \cdot 98,7654 \cdot 2,0017 = 1,23456 \cdot 98765,4 \cdot 0,20017$.

Для проверки этого равенства нет необходимости выполнять полное умножение. Вместо этого проанализируем, как изменились множители в правой части по сравнению с левой. Обозначим левую часть как ЛЧ, а правую как ПЧ.

ЛЧ = $123,456 \cdot 98,7654 \cdot 2,0017$.

Выразим множители правой части через множители левой:

$1,23456 = 123,456 : 100 = 123,456 \cdot 10^{-2}$

$98765,4 = 98,7654 \cdot 1000 = 98,7654 \cdot 10^{3}$

$0,20017 = 2,0017 : 10 = 2,0017 \cdot 10^{-1}$

Подставим эти выражения в правую часть:

ПЧ = $(123,456 \cdot 10^{-2}) \cdot (98,7654 \cdot 10^{3}) \cdot (2,0017 \cdot 10^{-1})$

Сгруппируем множители:

ПЧ = $(123,456 \cdot 98,7654 \cdot 2,0017) \cdot (10^{-2} \cdot 10^{3} \cdot 10^{-1})$

Выражение в первой скобке равно ЛЧ. Вычислим произведение степеней десяти во второй скобке:

$10^{-2} \cdot 10^{3} \cdot 10^{-1} = 10^{-2+3-1} = 10^0 = 1$.

Следовательно, ПЧ = ЛЧ $\cdot 1 = $ ЛЧ. Равенство верно.

Ответ: равенство верно.

г)

Проверим верность равенства: $135,79 \cdot 2,468 \cdot 0,2009 = 13,579 \cdot 200,9 \cdot 0,2468$.

Проанализируем множители аналогично предыдущему пункту. Обозначим левую часть как ЛЧ, а правую как ПЧ.

ЛЧ = $135,79 \cdot 2,468 \cdot 0,2009$.

Выразим множители правой части через множители левой. Заметим, что множители в правой части переставлены.

$13,579 = 135,79 : 10 = 135,79 \cdot 10^{-1}$

$200,9 = 0,2009 \cdot 1000 = 0,2009 \cdot 10^{3}$

$0,2468 = 2,468 : 10 = 2,468 \cdot 10^{-1}$

Подставим эти выражения в правую часть:

ПЧ = $(135,79 \cdot 10^{-1}) \cdot (0,2009 \cdot 10^{3}) \cdot (2,468 \cdot 10^{-1})$

Сгруппируем множители:

ПЧ = $(135,79 \cdot 2,468 \cdot 0,2009) \cdot (10^{-1} \cdot 10^{3} \cdot 10^{-1})$

Выражение в первой скобке равно ЛЧ. Вычислим произведение степеней десяти во второй скобке:

$10^{-1} \cdot 10^{3} \cdot 10^{-1} = 10^{-1+3-1} = 10^1 = 10$.

Следовательно, ПЧ = ЛЧ $\cdot 10$.

Поскольку левая часть не равна нулю, правая часть в 10 раз больше левой, поэтому равенство неверно.

Ответ: равенство неверно.