Номер 789, страница 240 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

789. В лотерее предлагается угадать $n$ чисел из $k$. В какой лотерее вероятность выигрыша больше: «6 из 49» или «5 из 36»?

Чтобы определить, в какой лотерее вероятность выигрыша больше, необходимо рассчитать общее количество возможных комбинаций для каждой лотереи. Вероятность выигрыша равна отношению числа благоприятных исходов (в данном случае, только одна выигрышная комбинация) к общему числу всех возможных исходов (комбинаций). Чем меньше общее число комбинаций, тем выше вероятность выигрыша.

Общее число комбинаций (сочетаний) из $k$ элементов по $n$ рассчитывается по формуле:

$C_k^n = \frac{k!}{n!(k-n)!}$

где $k$ — общее количество чисел, из которых делается выбор, а $n$ — количество чисел, которые нужно угадать.

«6 из 49»

Для этой лотереи $k=49$ и $n=6$. Рассчитаем общее число комбинаций:

$C_{49}^6 = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6!43!} = \frac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Выполнив вычисления, получаем:

$C_{49}^6 = 13 \ 983 \ 816$

Таким образом, существует 13 983 816 возможных комбинаций. Вероятность выигрыша в этой лотерее составляет $P_1 = \frac{1}{13 \ 983 \ 816}$.

«5 из 36»

Для этой лотереи $k=36$ и $n=5$. Рассчитаем общее число комбинаций:

$C_{36}^5 = \frac{36!}{5!(36-5)!} = \frac{36!}{5!31!} = \frac{36 \times 35 \times 34 \times 33 \times 32}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Выполним вычисления. Сократим $36$ в числителе со множителями $4$ и $3$ в знаменателе, получив $3$. Сократим $35$ и $5$, получив $7$. Сократим $32$ и $2$, получив $16$. Перемножим оставшиеся числа:

$C_{36}^5 = 3 \times 7 \times 34 \times 33 \times 16 = 376 \ 992$

Таким образом, существует 376 992 возможные комбинации. Вероятность выигрыша в этой лотерее составляет $P_2 = \frac{1}{376 \ 992}$.

Теперь сравним полученные вероятности. Поскольку число возможных комбинаций в лотерее «6 из 49» (13 983 816) значительно больше, чем в лотерее «5 из 36» (376 992), вероятность выигрыша в ней соответственно меньше.

$13 \ 983 \ 816 > 376 \ 992 \implies \frac{1}{13 \ 983 \ 816} < \frac{1}{376 \ 992}$

Следовательно, вероятность выигрыша в лотерее «5 из 36» выше.

Ответ: Вероятность выигрыша больше в лотерее «5 из 36».