Номер 790, страница 240 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

790. В некотором царстве, в некотором государстве разбойника приговорили к смертной казни, и он подал царю прошение о помиловании. Добрый царь, большой знаток теории вероятностей, сказал: «Доверимся случаю, пусть разбойник сам решит свою судьбу. Выдайте ему мешок с полным набором костей домино и две игральные кости. Пусть он вытащит из мешка не глядя одну кость домино или бросит две игральные кости — по своему выбору. Если полученная в этом испытании сумма очков окажется равной числу, которое он назовёт до начала испытания, то быть по сему — пусть живёт». Какой вид испытания должен выбрать разбойник и какую сумму назвать, чтобы вероятность остаться живым оказалась наибольшей?

Чтобы определить наилучшую стратегию для разбойника, необходимо вычислить максимальную вероятность выигрыша для каждого из двух предложенных испытаний, а затем сравнить эти вероятности.

Стандартный набор домино состоит из костей, на половинках которых нанесены числа от 0 до 6. Каждая кость представляет собой неупорядоченную пару чисел $(i, j)$, где $0 \le i \le j \le 6$.

Общее количество костей в наборе можно рассчитать как число сочетаний с повторениями из 7 элементов (числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) по 2:

$N_{домино} = C_{7+2-1}^2 = C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$.

Таким образом, всего в мешке 28 костей домино. Это общее число равновероятных исходов.

Теперь найдем, сколько костей соответствует каждой возможной сумме очков. Сумма очков на кости $(i, j)$ равна $S = i + j$. Минимальная сумма 0 (кость 0-0), максимальная 12 (кость 6-6).

• Сумма 0: (0,0) – 1 кость. Вероятность: $P(0) = \frac{1}{28}$.
• Сумма 1: (0,1) – 1 кость. Вероятность: $P(1) = \frac{1}{28}$.
• Сумма 2: (0,2), (1,1) – 2 кости. Вероятность: $P(2) = \frac{2}{28}$.
• Сумма 3: (0,3), (1,2) – 2 кости. Вероятность: $P(3) = \frac{2}{28}$.
• Сумма 4: (0,4), (1,3), (2,2) – 3 кости. Вероятность: $P(4) = \frac{3}{28}$.
• Сумма 5: (0,5), (1,4), (2,3) – 3 кости. Вероятность: $P(5) = \frac{3}{28}$.
• Сумма 6: (0,6), (1,5), (2,4), (3,3) – 4 кости. Вероятность: $P(6) = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}$.
• Сумма 7: (1,6), (2,5), (3,4) – 3 кости. Вероятность: $P(7) = \frac{3}{28}$.
• Сумма 8: (2,6), (3,5), (4,4) – 3 кости. Вероятность: $P(8) = \frac{3}{28}$.
• Сумма 9: (3,6), (4,5) – 2 кости. Вероятность: $P(9) = \frac{2}{28}$.
• Сумма 10: (4,6), (5,5) – 2 кости. Вероятность: $P(10) = \frac{2}{28}$.
• Сумма 11: (5,6) – 1 кость. Вероятность: $P(11) = \frac{1}{28}$.
• Сумма 12: (6,6) – 1 кость. Вероятность: $P(12) = \frac{1}{28}$.

Наибольшая вероятность в этом испытании соответствует сумме очков, равной 6. Она составляет $P_{домино}(6) = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}$.

При броске двух стандартных игральных костей (кубиков) на каждой может выпасть число очков от 1 до 6. Общее количество равновероятных исходов равно $N_{кости} = 6 \times 6 = 36$.

Найдем количество исходов для каждой возможной суммы очков. Минимальная сумма 2 (1+1), максимальная 12 (6+6).

• Сумма 2: (1,1) – 1 исход. Вероятность: $P(2) = \frac{1}{36}$.
• Сумма 3: (1,2), (2,1) – 2 исхода. Вероятность: $P(3) = \frac{2}{36}$.
• Сумма 4: (1,3), (2,2), (3,1) – 3 исхода. Вероятность: $P(4) = \frac{3}{36}$.
• Сумма 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) – 4 исхода. Вероятность: $P(5) = \frac{4}{36}$.
• Сумма 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) – 5 исходов. Вероятность: $P(6) = \frac{5}{36}$.
• Сумма 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) – 6 исходов. Вероятность: $P(7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
• Сумма 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) – 5 исходов. Вероятность: $P(8) = \frac{5}{36}$.
• Сумма 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) – 4 исхода. Вероятность: $P(9) = \frac{4}{36}$.
• Сумма 10: (4,6), (5,5), (6,4) – 3 исхода. Вероятность: $P(10) = \frac{3}{36}$.
• Сумма 11: (5,6), (6,5) – 2 исхода. Вероятность: $P(11) = \frac{2}{36}$.
• Сумма 12: (6,6) – 1 исход. Вероятность: $P(12) = \frac{1}{36}$.

Наибольшая вероятность в этом испытании соответствует сумме очков, равной 7. Она составляет $P_{кости}(7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Теперь сравним максимальные вероятности выживания для каждого из испытаний:

• Максимальная вероятность при выборе домино: $P_{max\_домино} = \frac{1}{7}$.
• Максимальная вероятность при броске костей: $P_{max\_кости} = \frac{1}{6}$.

Чтобы сравнить дроби $\frac{1}{7}$ и $\frac{1}{6}$, приведем их к общему знаменателю 42:

$\frac{1}{7} = \frac{6}{42}$

$\frac{1}{6} = \frac{7}{42}$

Поскольку $\frac{7}{42} > \frac{6}{42}$, то $\frac{1}{6} > \frac{1}{7}$.

Следовательно, вероятность остаться в живых выше, если выбрать испытание с игральными костями.

Ответ: Разбойнику следует выбрать испытание с броском двух игральных костей и назвать сумму очков, равную 7. В этом случае вероятность остаться в живых будет наибольшей и составит $\frac{1}{6}$.