Номер 788, страница 240 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

788. Из перетасованной колоды, состоящей из 36 карт, наугад взяты 4 карты. Какова вероятность того, что в эту четвёрку:

а) попадут тузы: бубновый, пиковый, червовый и трефовый в указанном порядке;

б) попадут 4 туза (в любом порядке);

в) попадёт туз бубновый и его возьмут первым;

г) попадёт туз бубновый?

а) попадут тузы: бубновый, пиковый, червовый и трефовый в указанном порядке;

Для решения этой задачи мы рассматриваем последовательность извлечения карт. Так как важен порядок, мы вычисляем вероятность как произведение вероятностей последовательных событий.

1. Вероятность того, что первой картой будет вытянут бубновый туз, составляет $\frac{1}{36}$, поскольку в колоде 36 карт и только один бубновый туз.

2. После того как первая карта извлечена, в колоде остается 35 карт. Вероятность вытянуть пиковый туз второй картой равна $\frac{1}{35}$.

3. Затем в колоде остается 34 карты. Вероятность вытянуть червовый туз третьей картой равна $\frac{1}{34}$.

4. Наконец, в колоде остается 33 карты. Вероятность вытянуть трефовый туз четвертой картой равна $\frac{1}{33}$.

Чтобы найти вероятность того, что все эти события произойдут в указанном порядке, мы перемножаем их вероятности:

$P(A) = \frac{1}{36} \times \frac{1}{35} \times \frac{1}{34} \times \frac{1}{33} = \frac{1}{1413720}$

Другой способ — использование формулы размещений. Общее число способов вытянуть 4 карты из 36 с учетом порядка равно числу размещений $A_{36}^4$. Благоприятный исход только один.

$A_{36}^4 = 36 \times 35 \times 34 \times 33 = 1413720$

$P(A) = \frac{1}{A_{36}^4} = \frac{1}{1413720}$

Ответ: $\frac{1}{1413720}$

б) попадут 4 туза (в любом порядке);

В этом случае порядок карт не имеет значения, поэтому мы используем сочетания. Сначала найдем общее количество способов выбрать 4 карты из 36.

Общее число исходов — это число сочетаний из 36 по 4, которое вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$N = C_{36}^4 = \frac{36!}{4!(36-4)!} = \frac{36 \times 35 \times 34 \times 33}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 58905$

Благоприятный исход — это выбор 4 тузов. В колоде всего 4 туза, и нам нужно выбрать их все. Число способов сделать это равно:

$m = C_4^4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = \frac{4!}{4!0!} = 1$

Вероятность события — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(B) = \frac{m}{N} = \frac{C_4^4}{C_{36}^4} = \frac{1}{58905}$

Ответ: $\frac{1}{58905}$

в) попадёт туз бубновый и его возьмут первым;

Условие задачи состоит из двух частей: "попадёт туз бубновый" и "его возьмут первым". Это означает, что нас интересует только первая извлеченная карта. Она должна быть бубновым тузом. Что произойдет с остальными тремя картами, неважно.

В колоде 36 карт, и среди них только один бубновый туз.

Вероятность того, что первая же случайным образом взятая карта окажется бубновым тузом, равна отношению количества бубновых тузов к общему количеству карт в колоде.

$P(C) = \frac{1}{36}$

Ответ: $\frac{1}{36}$

г) попадёт туз бубновый?

Здесь требуется найти вероятность того, что среди 4 взятых карт окажется бубновый туз. Порядок карт не важен. Эту задачу удобно решать через нахождение вероятности противоположного события.

Противоположное событие (назовем его D') заключается в том, что среди 4 взятых карт бубнового туза нет.

1. Вероятность того, что первая карта — не бубновый туз, равна $\frac{35}{36}$ (так как 35 карт из 36 не являются бубновым тузом).

2. Если первая карта не бубновый туз, то осталось 35 карт, из них 34 — не бубновые тузы. Вероятность, что вторая карта — не бубновый туз, равна $\frac{34}{35}$.

3. Вероятность, что третья карта — не бубновый туз: $\frac{33}{34}$.

4. Вероятность, что четвертая карта — не бубновый туз: $\frac{32}{33}$.

Вероятность того, что ни одна из карт не будет бубновым тузом, равна произведению этих вероятностей:

$P(D') = \frac{35}{36} \times \frac{34}{35} \times \frac{33}{34} \times \frac{32}{33} = \frac{32}{36} = \frac{8}{9}$

Искомая вероятность P(D) — это вероятность того, что бубновый туз все-таки попадется. Она равна $1$ минус вероятность противоположного события:

$P(D) = 1 - P(D') = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$