Номер 787, страница 240 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

787. Иванов и Степанов входят в группу из семи студентов, имеющих одинаковые шансы получить один из двух разных призов. Какова вероятность того, что:

а) Иванов получит первый приз, а Степанов — второй;

б) Иванов и Степанов получат призы;

в) Иванов получит первый приз;

г) Иванов получит один из двух призов?

В группе 7 студентов, и разыгрывается 2 различных приза. Все студенты имеют равные шансы на получение приза. Для решения задачи будем использовать классическое определение вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $N$ – общее число равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию A.

Сначала найдем общее число исходов. Первый приз может получить любой из 7 студентов. После того как обладатель первого приза определен, второй приз может получить любой из оставшихся 6 студентов. Так как призы разные, порядок их получения важен. Таким образом, общее число способов распределить два разных приза среди семи студентов равно числу размещений из 7 элементов по 2:

$N = A_7^2 = \frac{7!}{(7-2)!} = 7 \times 6 = 42$

Итак, существует 42 равновозможных исхода распределения призов.

а) Иванов получит первый приз, а Степанов — второй;

Это один конкретный исход распределения призов: первый приз достается Иванову, а второй — Степанову. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m = 1$. Вероятность этого события равна:

$P(а) = \frac{m}{N} = \frac{1}{42}$

Ответ: $\frac{1}{42}$

б) Иванов и Степанов получат призы;

Это событие означает, что оба приза достанутся Иванову и Степанову. Существует два варианта, которые удовлетворяют этому условию: первый вариант — Иванов получает первый приз, а Степанов — второй; второй вариант — Степанов получает первый приз, а Иванов — второй. Таким образом, число благоприятствующих исходов $m = 2$. Вероятность этого события равна:

$P(б) = \frac{m}{N} = \frac{2}{42} = \frac{1}{21}$

Ответ: $\frac{1}{21}$

в) Иванов получит первый приз;

Для наступления этого события необходимо, чтобы Иванов получил первый приз. Второй приз при этом может достаться любому из 6 оставшихся студентов. Число благоприятствующих исходов: $m = 1 \times 6 = 6$. Вероятность этого события равна:

$P(в) = \frac{m}{N} = \frac{6}{42} = \frac{1}{7}$

Можно рассуждать и проще: на первый приз претендуют 7 студентов с равными шансами. Вероятность того, что его получит именно Иванов, составляет $1/7$.

Ответ: $\frac{1}{7}$

г) Иванов получит один из двух призов?

Это событие можно представить как сумму двух несовместных событий: событие C (Иванов получает первый приз) и событие D (Иванов получает второй приз). Вероятность события C мы уже нашли в пункте в): $P(C) = \frac{1}{7}$.

Найдем вероятность события D. Если Иванов получает второй приз, то первый приз может получить любой из 6 других студентов. Число исходов, благоприятствующих событию D, равно $m_D = 6 \times 1 = 6$. Вероятность события D:

$P(D) = \frac{6}{42} = \frac{1}{7}$

Так как события C и D несовместны (Иванов не может одновременно получить и первый, и второй приз), искомая вероятность равна сумме их вероятностей:

$P(г) = P(C) + P(D) = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}$

В качестве альтернативного решения можно найти вероятность противоположного события — "Иванов не получит ни одного приза". Это означает, что первый приз достается одному из 6 других студентов, а второй — одному из оставшихся 5. Число таких исходов: $m_{прот.} = 6 \times 5 = 30$. Вероятность противоположного события: $P_{прот.} = \frac{30}{42} = \frac{5}{7}$. Тогда вероятность того, что Иванов получит хотя бы один приз, равна: $P(г) = 1 - P_{прот.} = 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$.

Ответ: $\frac{2}{7}$