Номер 1, страница 55 - гдз по физике 9 класс тетрадь-тренажёр Артеменков, Белага

IV. Механика жидкостей и газов. Решаем задачи - номер 1, страница 55.

Условие.

1. В цилиндрический сосуд налиты равные массы ртути и воды. Общая высота двух слоёв жидкостей равна 45 см. Определите давление жидкостей на дно сосуда.

Решение.

Дано:

$m_р = m_в$ (масса ртути равна массе воды)
$H = 45 \text{ см} = 0.45 \text{ м}$
$\rho_р = 13600 \text{ кг/м³}$ (плотность ртути)
$\rho_в = 1000 \text{ кг/м³}$ (плотность воды)
$g \approx 9.8 \text{ Н/кг}$

Найти:

$\text{P}$

Решение:

Поскольку плотность ртути ($\rho_р$) больше плотности воды ($\rho_в$), ртуть будет находиться в нижнем слое, а вода — в верхнем. Давление на дно сосуда создается обоими слоями жидкости. Оно равно сумме давления столба ртути и давления столба воды, которое передается через ртуть на дно.

Общее давление $\text{P}$ на дно сосуда можно рассчитать по формуле:

$P = \rho_р g h_р + \rho_в g h_в$

где $h_р$ и $h_в$ — высоты слоев ртути и воды соответственно.

По условию задачи, массы жидкостей равны: $m_р = m_в$. Массу каждой жидкости можно выразить через ее плотность $\rho$, высоту слоя $\text{h}$ и площадь основания цилиндрического сосуда $\text{S}$:

$m = \rho \cdot V = \rho \cdot S \cdot h$

Приравнивая массы, получаем:

$\rho_р S h_р = \rho_в S h_в$

Площадь $\text{S}$ сокращается, и мы получаем соотношение между высотами слоев:

$\rho_р h_р = \rho_в h_в$

Общая высота двух слоев известна:

$h_р + h_в = H$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($h_р$ и $h_в$):

$\begin{cases} h_р + h_в = H \\ \rho_р h_р = \rho_в h_в \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $h_в = h_р \frac{\rho_р}{\rho_в}$ и подставим в первое:

$h_р + h_р \frac{\rho_р}{\rho_в} = H$

$h_р (1 + \frac{\rho_р}{\rho_в}) = H \implies h_р (\frac{\rho_в + \rho_р}{\rho_в}) = H$

Отсюда находим высоту слоя ртути:

$h_р = H \frac{\rho_в}{\rho_в + \rho_р}$

Теперь вернемся к формуле для общего давления $\text{P}$. Учитывая, что $\rho_р h_р = \rho_в h_в$, можно записать:

$P = g(\rho_р h_р + \rho_в h_в) = g(\rho_р h_р + \rho_р h_р) = 2g \rho_р h_р$

Подставим в эту формулу найденное выражение для $h_р$:

$P = 2g \rho_р \left(H \frac{\rho_в}{\rho_в + \rho_р}\right) = \frac{2 g H \rho_р \rho_в}{\rho_р + \rho_в}$

Теперь подставим числовые значения:

$P = \frac{2 \cdot 9.8 \text{ Н/кг} \cdot 0.45 \text{ м} \cdot 13600 \text{ кг/м³} \cdot 1000 \text{ кг/м³}}{13600 \text{ кг/м³} + 1000 \text{ кг/м³}}$

$P = \frac{8.82 \cdot 13600000}{14600} \text{ Па} = \frac{119952000}{14600} \text{ Па} \approx 8215.89 \text{ Па}$

Округлим результат до целых.

Ответ: $P \approx 8216 \text{ Па}$.