Номер 2, страница 55 - гдз по физике 9 класс тетрадь-тренажёр Артеменков, Белага

IV. Механика жидкостей и газов. Решаем задачи - номер 2, страница 55.

Условие.

2. Однородная льдина площадью поперечного сечения $6 \text{ м}^2$ и высотой $30 \text{ см}$ плавает в воде. Как изменится глубина погружения льдины, если на неё встанет человек массой $50 \text{ кг}$? Будет ли она целиком погружена в воду?

Решение.

Дано:

Площадь поперечного сечения льдины, $S = 6 \text{ м}^2$

Высота льдины, $H = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

Масса человека, $m_{чел} = 50 \text{ кг}$

Плотность воды, $\rho_{воды} \approx 1000 \text{ кг/м}^3$

Плотность льда, $\rho_{льда} \approx 900 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ Н/кг}$

Найти:

1. Изменение глубины погружения льдины, $\Delta h$

2. Будет ли льдина погружена полностью?

Решение:

Как изменится глубина погружения льдины, если на неё встанет человек массой 50 кг?
Когда человек встает на льдину, её вес увеличивается. Это увеличение веса должно быть скомпенсировано увеличением выталкивающей силы (силы Архимеда), чтобы льдина оставалась на плаву.
Дополнительная сила тяжести, действующая на льдину, равна весу человека: $P_{чел} = m_{чел}g$.
Дополнительная выталкивающая сила $\Delta F_A$ возникает за счет увеличения объема погруженной части льдины: $\Delta V = S \cdot \Delta h$, где $\Delta h$ - изменение глубины погружения.
Формула для дополнительной выталкивающей силы: $\Delta F_A = \rho_{воды} g \Delta V = \rho_{воды} g S \Delta h$.
Приравниваем дополнительную силу тяжести и дополнительную выталкивающую силу:
$m_{чел}g = \rho_{воды} g S \Delta h$
Отсюда можем выразить изменение глубины погружения $\Delta h$:
$\Delta h = \frac{m_{чел}g}{\rho_{воды} g S} = \frac{m_{чел}}{\rho_{воды} S}$
Подставим числовые значения:
$\Delta h = \frac{50 \text{ кг}}{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 6 \text{ м}^2} = \frac{50}{6000} \text{ м} \approx 0.0083 \text{ м}$
Переведем в сантиметры: $0.0083 \text{ м} = 0.83 \text{ см}$.
Глубина погружения льдины увеличится.

Ответ: Глубина погружения льдины увеличится примерно на $0.83 \text{ см}$.

Будет ли она целиком погружена в воду?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно найти общую глубину погружения льдины с человеком ($h_2$) и сравнить ее с полной высотой льдины ($\text{H}$).
Сначала найдем начальную глубину погружения льдины без человека ($h_1$). Условие плавания льдины: сила тяжести льдины равна выталкивающей силе.
$m_{льда}g = F_{A1}$
Массу льдины найдем через ее объем $V = SH$ и плотность $\rho_{льда}$: $m_{льда} = \rho_{льда} S H$.
Выталкивающая сила: $F_{A1} = \rho_{воды} g V_{погр1} = \rho_{воды} g S h_1$.
Приравниваем:
$\rho_{льда} g S H = \rho_{воды} g S h_1$
$h_1 = H \frac{\rho_{льда}}{\rho_{воды}}$
Подставим значения:
$h_1 = 0.3 \text{ м} \cdot \frac{900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = 0.3 \text{ м} \cdot 0.9 = 0.27 \text{ м}$
Теперь найдем конечную глубину погружения $h_2$ с человеком на льдине. Она равна сумме начальной глубины и ее изменения:
$h_2 = h_1 + \Delta h = 0.27 \text{ м} + 0.0083 \text{ м} = 0.2783 \text{ м}$
Сравним конечную глубину погружения с полной высотой льдины $H = 0.3 \text{ м}$:
$0.2783 \text{ м} < 0.3 \text{ м}$
Так как $h_2 < H$, льдина будет погружена в воду не целиком.

Ответ: Нет, льдина не будет целиком погружена в воду.