Номер 5, страница 81 - гдз по физике 9 класс тетрадь-тренажёр Артеменков, Белага

VI. Механические колебания и волны. Решаем задачи - номер 5, страница 81.

Условие.

5. Математический маятник имеет длину подвеса $9,8 \text{ м}$. Амплитуда колебаний $4 \text{ см}$. Постройте график зависимости координаты от времени $x(t)$. Ускорение свободного падения примите равным $9,8 \text{ м/с}^2$.

Решение.

Дано:

Длина подвеса маятника, $l = 9,8$ м

Амплитуда колебаний, $A = 4$ см

Ускорение свободного падения, $g = 9,8$ м/с²

Перевод в систему СИ:

$A = 4$ см $= 0,04$ м

Найти:

График зависимости координаты от времени $x(t)$.

Решение:

Колебания математического маятника при малых отклонениях являются гармоническими. Зависимость координаты от времени для гармонических колебаний описывается уравнением:

$x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi_0)$

где $\text{A}$ - амплитуда колебаний, $\omega$ - циклическая (угловая) частота, $\text{t}$ - время, $\phi_0$ - начальная фаза.

Поскольку начальные условия не заданы, для простоты примем, что в начальный момент времени ($t=0$) маятник был отклонен на максимальное расстояние от положения равновесия. В этом случае начальная фаза $\phi_0 = 0$, и уравнение колебаний принимает вид:

$x(t) = A \cdot \cos(\omega t)$

Амплитуда нам дана: $A = 0,04$ м.

Найдем циклическую частоту $\omega$ для математического маятника по формуле:

$\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$

Подставим известные значения:

$\omega = \sqrt{\frac{9,8 \text{ м/с}^2}{9,8 \text{ м}}} = \sqrt{1 \text{ с}^{-2}} = 1$ рад/с

Теперь мы можем записать уравнение зависимости координаты от времени:

$x(t) = 0,04 \cos(1 \cdot t)$

или

$x(t) = 0,04 \cos(t)$

Для построения графика необходимо знать его основные параметры: амплитуду и период. Амплитуда $A=0,04$ м. Найдем период колебаний $\text{T}$:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

$T = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \approx 6,28$ с

График зависимости $x(t)$ представляет собой косинусоиду. Ось ординат (координата $\text{x}$) будет иметь пределы от $-0,04$ м до $+0,04$ м. Ось абсцисс - это время $\text{t}$ в секундах.

Ключевые точки для построения графика на одном периоде:

При $t=0$ с, $x = 0,04 \cdot \cos(0) = 0,04$ м (максимальное отклонение).

При $t = T/4 = \pi/2 \approx 1,57$ с, $x = 0,04 \cdot \cos(\pi/2) = 0$ м (положение равновесия).

При $t = T/2 = \pi \approx 3,14$ с, $x = 0,04 \cdot \cos(\pi) = -0,04$ м (максимальное отклонение в противоположную сторону).

При $t = 3T/4 = 3\pi/2 \approx 4,71$ с, $x = 0,04 \cdot \cos(3\pi/2) = 0$ м (положение равновесия).

При $t = T = 2\pi \approx 6,28$ с, $x = 0,04 \cdot \cos(2\pi) = 0,04$ м (возврат в начальную точку).

Соединив эти точки плавной линией, получим график косинусоиды.

Ответ:

Уравнение движения маятника: $x(t) = 0,04 \cos(t)$, где $\text{x}$ измеряется в метрах, а $\text{t}$ - в секундах. График этой зависимости - косинусоида с амплитудой $0,04$ м и периодом $T = 2\pi \approx 6,28$ с, начинающаяся в точке $(0; 0,04)$.