Номер 7, страница 79 - гдз по физике 9 класс тетрадь-тренажёр Артеменков, Белага

VI. Механические колебания и волны. Считаем и сравниваем - номер 7, страница 79.

Условие.

7. Маятники прикреплены к тонкой горизонтальной нити, как показано на рисунке. Какой из маятников будет иметь наибольшую амплитуду колебаний, если нить раскачивать в горизонтальном направлении с частотой 1 Гц?

Решение.

Наибольшую амплитуду колебаний будет иметь тот маятник, собственная частота колебаний которого наиболее близка к частоте вынуждающей силы (в данном случае, к частоте раскачивания нити). Это явление называется резонансом. Нам нужно определить, у какого из маятников собственная частота колебаний близка к 1 Гц.

Дано:

Длины маятников:

$l_1$ = 10 см = 0.1 м

$l_2$ = 15 см = 0.15 м

$l_3$ = 20 см = 0.2 м

$l_4$ = 25 см = 0.25 м

Частота раскачивания нити (вынуждающая частота): $f_в$ = 1 Гц

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \text{ м/с²}$

Найти:

Маятник с наибольшей амплитудой колебаний.

Решение:

Собственная частота колебаний математического маятника определяется по формуле:

$f_0 = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$

где $\text{T}$ – период колебаний, $\text{l}$ – длина нити маятника, $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Явление резонанса наступает, когда собственная частота колебаний системы $f_0$ совпадает с частотой вынуждающей силы $f_в$. Найдем, при какой длине маятника его собственная частота будет равна 1 Гц.

$f_в = f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_{рез}}}$

Выразим из этой формулы резонансную длину $l_{рез}$:

$(2\pi f_в)^2 = \frac{g}{l_{рез}}$

$l_{рез} = \frac{g}{(2\pi f_в)^2} = \frac{g}{4\pi^2 f_в^2}$

Подставим известные значения:

$l_{рез} = \frac{9.8 \text{ м/с²}}{4 \cdot (3.14)^2 \cdot (1 \text{ Гц})^2} \approx \frac{9.8}{4 \cdot 9.86} \approx \frac{9.8}{39.44} \approx 0.248 \text{ м}$

Для удобства расчетов можно использовать приближение $g \approx \pi^2 \text{ м/с²}$. Тогда:

$l_{рез} = \frac{\pi^2}{4\pi^2 \cdot 1^2} = \frac{1}{4} \text{ м} = 0.25 \text{ м} = 25 \text{ см}$

Полученная резонансная длина (25 см) совпадает с длиной четвертого маятника ($l_4 = 25 \text{ см}$). Следовательно, собственная частота колебаний этого маятника будет практически равна частоте раскачивания нити. Из-за этого наступит резонанс, и амплитуда колебаний четвертого маятника станет наибольшей.

Проверим это, рассчитав собственные частоты для каждого маятника:

$f_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{9.8}{0.10}} \approx 1.58 \text{ Гц}$

$f_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{9.8}{0.15}} \approx 1.28 \text{ Гц}$

$f_3 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{9.8}{0.20}} \approx 1.11 \text{ Гц}$

$f_4 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{9.8}{0.25}} \approx 0.99 \text{ Гц}$

Как видно из расчетов, собственная частота четвертого маятника ($f_4 \approx 0.99 \text{ Гц}$) наиболее близка к вынуждающей частоте $f_в = 1 \text{ Гц}$.

Ответ: Наибольшую амплитуду колебаний будет иметь маятник с длиной нити $l=25$ см, так как его собственная частота колебаний наиболее близка к частоте раскачивания нити, что приведет к явлению резонанса.