Номер 5, страница 79 - гдз по физике 9 класс тетрадь-тренажёр Артеменков, Белага

VI. Механические колебания и волны. Считаем и сравниваем - номер 5, страница 79.

Условие.

5. Массы грузов двух пружинных маятников равны соответственно 2 кг и 3 кг. Определите, какая пружина обладает большей жёсткостью и во сколько раз, если период колебаний первого маятника 2 с, а второго — 1 с.

Решение.

Дано:

$m_1 = 2$ кг

$m_2 = 3$ кг

$T_1 = 2$ c

$T_2 = 1$ c

Найти:

Какая пружина обладает большей жёсткостью и во сколько раз? (Найти отношение жёсткостей $\frac{k_2}{k_1}$ или $\frac{k_1}{k_2}$)

Решение:

Период колебаний пружинного маятника определяется по формуле Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $\text{T}$ — период колебаний, $\text{m}$ — масса груза, $\text{k}$ — жёсткость пружины.

Выразим жёсткость пружины $\text{k}$ из этой формулы. Для этого возведём обе части уравнения в квадрат:

$T^2 = (2\pi)^2 \frac{m}{k} = 4\pi^2 \frac{m}{k}$

Отсюда жёсткость $\text{k}$ равна:

$k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}$

Запишем выражения для жёсткости первой ($k_1$) и второй ($k_2$) пружин:

$k_1 = \frac{4\pi^2 m_1}{T_1^2}$

$k_2 = \frac{4\pi^2 m_2}{T_2^2}$

Чтобы определить, какая пружина обладает большей жёсткостью и во сколько раз, найдём отношение их жёсткостей $\frac{k_2}{k_1}$:

$\frac{k_2}{k_1} = \frac{\frac{4\pi^2 m_2}{T_2^2}}{\frac{4\pi^2 m_1}{T_1^2}} = \frac{4\pi^2 m_2 T_1^2}{4\pi^2 m_1 T_2^2} = \frac{m_2 T_1^2}{m_1 T_2^2}$

Подставим известные значения в полученную формулу:

$\frac{k_2}{k_1} = \frac{3 \cdot (2)^2}{2 \cdot (1)^2} = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$

Так как отношение $\frac{k_2}{k_1} = 6$, это означает, что жёсткость второй пружины ($k_2$) в 6 раз больше жёсткости первой пружины ($k_1$).

Ответ: Жёсткость второй пружины больше жёсткости первой в 6 раз.