Номер 1.1, страница 4 - гдз по физике 9 класс задачник Артеменков, Ломаченков

I. Движение тел вблизи поверхности Земли и гравитация - номер 1.1, страница 4.

Условие.

1.1* С вертолёта, находящегося на высоте 500 м, сбросили груз. Через какое время он упадёт на землю, если вертолёт:

1) неподвижен;

2) поднимается равномерно вверх со скоростью 10 м/с;

3) равномерно опускается со скоростью 6 м/с?

Решение.

Дано:

$h = 500 \text{ м}$ (высота)

$v_{в1} = 0 \text{ м/с}$ (скорость вертолета в 1-м случае)

$v_{в2} = 10 \text{ м/с}$ (скорость вертолета во 2-м случае, направлена вверх)

$v_{в3} = 6 \text{ м/с}$ (скорость вертолета в 3-м случае, направлена вниз)

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

$t_1, t_2, t_3$ - время падения груза в каждом из трех случаев.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением движения тела при свободном падении. Выберем систему отсчета, связанную с Землей. Ось $OY$ направим вертикально вверх, а начало отсчета ($y=0$) расположим на поверхности земли. В этом случае начальная координата груза $y_0 = h = 500 \text{ м}$.

Общее уравнение движения тела по вертикали имеет вид:

$y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$

В нашем случае $y_0=h$, а ускорение $a_y = -g$ (ускорение направлено вниз, против оси $OY$). Начальная скорость груза $v_{0y}$ равна скорости вертолета в момент сброса.

В момент падения на землю координата груза $y(t)=0$. Подставив все значения, получаем уравнение для времени падения $t$:

$0 = h + v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$

Это квадратное уравнение относительно $t$, которое мы решим для каждого из трех случаев.

1) неподвижен

Если вертолет неподвижен, его скорость равна нулю. Следовательно, начальная скорость сброшенного груза также равна нулю: $v_{0y} = 0$.

Уравнение движения упрощается:

$0 = h - \frac{gt_1^2}{2}$

Выразим отсюда время падения $t_1$:

$t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Подставим числовые значения:

$t_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 500 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{1000}{10}} \text{ с} = \sqrt{100} \text{ с} = 10 \text{ с}$

Ответ: 10 с.

2) поднимается равномерно вверх со скоростью 10 м/с

В этом случае начальная скорость груза равна скорости вертолета и направлена вверх: $v_{0y} = +10 \text{ м/с}$.

Подставим значения в общее уравнение:

$0 = 500 + 10t_2 - \frac{10t_2^2}{2}$

Получаем квадратное уравнение:

$5t_2^2 - 10t_2 - 500 = 0$

Разделим обе части на 5:

$t_2^2 - 2t_2 - 100 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 4 + 400 = 404$

Найдем корни уравнения $t_{2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_2 = \frac{2 \pm \sqrt{404}}{2}$

Поскольку время не может быть отрицательным, выбираем корень со знаком «плюс»:

$t_2 = \frac{2 + \sqrt{404}}{2} = 1 + \sqrt{101} \approx 1 + 10.05 = 11.05 \text{ с}$

Округляя до десятых, получаем $11,1$ с.

Ответ: $\approx 11,1$ с.

3) равномерно опускается со скоростью 6 м/с

Здесь начальная скорость груза равна скорости вертолета и направлена вниз: $v_{0y} = -6 \text{ м/с}$ (знак «минус» показывает, что направление скорости противоположно направлению оси $OY$).

Подставим значения в общее уравнение:

$0 = 500 - 6t_3 - \frac{10t_3^2}{2}$

Получаем квадратное уравнение:

$5t_3^2 + 6t_3 - 500 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-500) = 36 + 10000 = 10036$

Найдем корни уравнения $t_{3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_3 = \frac{-6 \pm \sqrt{10036}}{10}$

Выбираем физически осмысленный положительный корень:

$t_3 = \frac{-6 + \sqrt{10036}}{10} \approx \frac{-6 + 100.18}{10} = \frac{94.18}{10} \approx 9.42 \text{ с}$

Округляя до десятых, получаем $9,4$ с.

Ответ: $\approx 9,4$ с.