Номер 1.4, страница 4 - гдз по физике 9 класс задачник Артеменков, Ломаченков

I. Движение тел вблизи поверхности Земли и гравитация - номер 1.4, страница 4.

Условие.

1.4 Свободно падающее тело в последнюю секунду проходит половину своего пути. Определите время и высоту падения.

Решение.

Дано:

$v_0 = 0 \, \text{м/с}$ (свободное падение)
$\Delta t_{посл} = 1 \, \text{с}$ (последняя секунда падения)
$\Delta H = H/2$ (путь за последнюю секунду равен половине всего пути)
$g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$t$ - ? (общее время падения)
$H$ - ? (общая высота падения)

Решение:

Запишем уравнение для пути, пройденного телом при свободном падении без начальной скорости. Общая высота падения $H$ за общее время $t$ определяется формулой:

$H = \frac{gt^2}{2}$ (1)

Путь, пройденный телом за время $t-1$ (то есть, до начала последней секунды), равен:

$H_{t-1} = \frac{g(t-1)^2}{2}$ (2)

Путь, пройденный за последнюю секунду, $\Delta H$, равен разности между полным путем $H$ и путем, пройденным за время $t-1$:

$\Delta H = H - H_{t-1}$

По условию задачи, путь за последнюю секунду равен половине всего пути:

$\Delta H = \frac{H}{2}$

Приравнивая два выражения для $\Delta H$, получаем:

$\frac{H}{2} = H - H_{t-1}$

Отсюда следует, что путь, пройденный до последней секунды, также равен половине всего пути:

$H_{t-1} = \frac{H}{2}$

Теперь подставим в это равенство выражения (1) и (2):

$\frac{g(t-1)^2}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{gt^2}{2} \right)$

Сократим обе части уравнения на $\frac{g}{2}$:

$(t-1)^2 = \frac{t^2}{2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как общее время падения $t$ должно быть больше последней секунды ($t > 1 \, \text{с}$), то выражение $t-1$ положительно.

$t-1 = \frac{t}{\sqrt{2}}$

Решим это уравнение относительно $t$:

$t - \frac{t}{\sqrt{2}} = 1$

$t \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1$

$t \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right) = 1$

$t = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2}+1)$:

$t = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{2+\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2+\sqrt{2}}{2-1} = 2+\sqrt{2}$

Вычислим приближенное значение времени падения, принимая $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$t = 2 + \sqrt{2} \approx 2 + 1.414 = 3.414 \, \text{с} \approx 3.4 \, \text{с}$

Теперь найдем высоту падения $H$, используя формулу (1) и найденное точное значение времени $t = 2+\sqrt{2}$:

$H = \frac{g(2+\sqrt{2})^2}{2} = \frac{g(4 + 4\sqrt{2} + 2)}{2} = \frac{g(6 + 4\sqrt{2})}{2} = g(3+2\sqrt{2})$

Вычислим приближенное значение высоты падения, используя $g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$:

$H \approx 9.8 \cdot (3 + 2 \cdot 1.414) = 9.8 \cdot (3 + 2.828) = 9.8 \cdot 5.828 \approx 57.11 \, \text{м} \approx 57 \, \text{м}$

Ответ: время падения $t = 2+\sqrt{2} \approx 3.4 \, \text{с}$, высота падения $H = g(3+2\sqrt{2}) \approx 57 \, \text{м}$.