Номер 1.11, страница 5 - гдз по физике 9 класс задачник Артеменков, Ломаченков

I. Движение тел вблизи поверхности Земли и гравитация - номер 1.11, страница 5.

Условие.

1.11 Определите глубину колодца, если звук от удара о дно брошенного камня дошёл наверх через 6 с после бросания камня. Начальная скорость камня равна нулю.

Решение.

Дано:

$t = 6$ с

$v_0 = 0$ м/с

$g \approx 9.8$ м/с² (ускорение свободного падения)

$v_з \approx 343$ м/с (скорость звука в воздухе при 20°C)

Найти:

$h$ — глубина колодца.

Решение:

Общее время $t$ складывается из времени падения камня $t_1$ и времени, за которое звук от удара дойдет до верха колодца, $t_2$.

$t = t_1 + t_2$

Глубину колодца $h$ можно выразить через время падения камня. Поскольку камень брошен без начальной скорости ($v_0 = 0$), его движение является свободным падением. Формула пути для равноускоренного движения:

$h = v_0 t_1 + \frac{g t_1^2}{2} = \frac{g t_1^2}{2}$

Отсюда можно выразить время падения камня $t_1$:

$t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Звук распространяется с постоянной скоростью $v_з$. Время $t_2$, за которое звук пройдет расстояние $h$, равно:

$t_2 = \frac{h}{v_з}$

Теперь подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в исходное уравнение для общего времени:

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} + \frac{h}{v_з}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$6 = \sqrt{\frac{2h}{9.8}} + \frac{h}{343}$

$6 = \sqrt{\frac{h}{4.9}} + \frac{h}{343}$

Для решения этого уравнения относительно $h$, перенесем второе слагаемое в левую часть и возведем обе части в квадрат:

$6 - \frac{h}{343} = \sqrt{\frac{h}{4.9}}$

$(6 - \frac{h}{343})^2 = (\sqrt{\frac{h}{4.9}})^2$

$36 - 2 \cdot 6 \cdot \frac{h}{343} + \frac{h^2}{343^2} = \frac{h}{4.9}$

$36 - \frac{12h}{343} + \frac{h^2}{117649} = \frac{h}{4.9}$

Приведем это уравнение к стандартному квадратному виду $ah^2 + bh + c = 0$. Для этого перенесем все члены в одну сторону и приведем подобные слагаемые:

$\frac{1}{117649}h^2 - (\frac{12}{343} + \frac{1}{4.9})h + 36 = 0$

$\frac{1}{117649}h^2 - (\frac{12}{343} + \frac{70}{343})h + 36 = 0$

$\frac{1}{117649}h^2 - \frac{82}{343}h + 36 = 0$

Умножим все уравнение на $117649$ ($343^2$), чтобы избавиться от дробей:

$h^2 - (82 \cdot 343)h + 36 \cdot 117649 = 0$

$h^2 - 28126h + 4235364 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-28126)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4235364 = 791071076 - 16941456 = 774129620$

$\sqrt{D} \approx 27823.2$

Находим корни уравнения:

$h_{1,2} = \frac{28126 \pm 27823.2}{2}$

$h_1 = \frac{28126 + 27823.2}{2} \approx 27974.6$ м

$h_2 = \frac{28126 - 27823.2}{2} \approx 151.4$ м

Первый корень ($h_1 \approx 28$ км) не имеет физического смысла для глубины колодца и является посторонним корнем, появившимся в результате возведения в квадрат. Второй корень является решением задачи.

Проверка:
Время падения камня: $t_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 151.4}{9.8}} \approx 5.56$ с.
Время распространения звука: $t_2 = \frac{151.4}{343} \approx 0.44$ с.
Общее время: $t = t_1 + t_2 = 5.56 + 0.44 = 6.0$ с.

Ответ: глубина колодца составляет приблизительно $151.4$ м.