Номер 1.15, страница 5 - гдз по физике 9 класс задачник Артеменков, Ломаченков

I. Движение тел вблизи поверхности Земли и гравитация - номер 1.15, страница 5.

Условие.

1.15 Тело брошено под углом $45^\circ$ к горизонту со скоростью 20 м/с. Определите проекции скорости на горизонтальную и вертикальную оси. На каком расстоянии упадет тело от точки бросания?

Решение.

Дано:

Начальная скорость тела, $v_0 = 20 \text{ м/с}$

Угол броска к горизонту, $\alpha = 45^\circ$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Проекцию скорости на горизонтальную ось $v_{0x}$

Проекцию скорости на вертикальную ось $v_{0y}$

Дальность полета $L$

Решение:

Определите проекции скорости на горизонтальную и вертикальную ось.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, раскладывается на два независимых движения: равномерное движение вдоль горизонтальной оси Ox и равноускоренное движение с ускорением свободного падения $g$ вдоль вертикальной оси Oy. Вектор начальной скорости $v_0$ раскладывается на две составляющие (проекции) с помощью тригонометрических функций.

Проекция начальной скорости на горизонтальную ось Ox определяется по формуле:

$v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\alpha)$

Проекция начальной скорости на вертикальную ось Oy определяется по формуле:

$v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\alpha)$

Подставим числовые значения:

$v_{0x} = 20 \text{ м/с} \cdot \cos(45^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \text{ м/с} \approx 14.14 \text{ м/с}$

$v_{0y} = 20 \text{ м/с} \cdot \sin(45^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \text{ м/с} \approx 14.14 \text{ м/с}$

Ответ: Проекция скорости на горизонтальную ось $v_{0x} \approx 14.14 \text{ м/с}$, проекция скорости на вертикальную ось $v_{0y} \approx 14.14 \text{ м/с}$.

На каком расстоянии упадет тело от точки бросания?

Расстояние, на котором тело упадет от точки бросания, называется дальностью полета $L$. Чтобы найти дальность полета, сначала необходимо определить полное время полета тела $t_{полн}$.

Время полета — это промежуток времени, за который тело вернется на начальную высоту. Движение по вертикали описывается уравнением: $y(t) = v_{0y} \cdot t - \frac{gt^2}{2}$. В момент падения высота $y$ снова равна нулю.

$0 = v_{0y} \cdot t_{полн} - \frac{gt_{полн}^2}{2}$

$t_{полн} (v_{0y} - \frac{gt_{полн}}{2}) = 0$

Данное уравнение имеет два решения: $t=0$ (момент броска) и $t_{полн} = \frac{2v_{0y}}{g}$.

Вычислим полное время полета:

$t_{полн} = \frac{2 \cdot 10\sqrt{2} \text{ м/с}}{9.8 \text{ м/с}^2} \approx 2.89 \text{ с}$

Дальность полета $L$ — это расстояние, которое тело прошло по горизонтали за время $t_{полн}$. Так как движение по горизонтали равномерное, используем формулу:

$L = v_{0x} \cdot t_{полн}$

$L \approx 14.14 \text{ м/с} \cdot 2.89 \text{ с} \approx 40.86 \text{ м}$

Для более точного расчета можно использовать готовую формулу дальности полета:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Подставим исходные данные:

$L = \frac{(20 \text{ м/с})^2 \cdot \sin(2 \cdot 45^\circ)}{9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{400 \cdot \sin(90^\circ)}{9.8} = \frac{400 \cdot 1}{9.8} \approx 40.82 \text{ м}$

(небольшое расхождение в результатах обусловлено округлением промежуточных вычислений в первом способе)

Ответ: Тело упадет на расстоянии приблизительно 40.82 м от точки бросания.