Номер 1.19, страница 5 - гдз по физике 9 класс задачник Артеменков, Ломаченков

I. Движение тел вблизи поверхности Земли и гравитация - номер 1.19, страница 5.

Условие.

1.19 Теннисист при подаче запускает мяч с высоты $2 \text{ м}$ над землёй. На каком расстоянии от подающего мяч ударится о корт, если начальная скорость мяча $10 \text{ м/с}$ и направлена под углом $40^\circ$ к горизонту?

Решение.

Дано:

Начальная высота, $h_0 = 2$ м

Начальная скорость, $v_0 = 10$ м/с

Угол к горизонту, $\alpha = 40^\circ$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Горизонтальное расстояние, $L$ - ?

Решение:

Для решения задачи используем законы движения тела, брошенного под углом к горизонту. Движение мяча можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного по горизонтали (ось OX) и равноускоренного по вертикали (ось OY).

Выберем систему координат с началом на земле прямо под точкой, откуда был запущен мяч. Ось OX направим горизонтально в сторону полета, а ось OY – вертикально вверх.

Разложим вектор начальной скорости $v_0$ на составляющие:

Горизонтальная составляющая: $v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\alpha)$

Вертикальная составляющая: $v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\alpha)$

Уравнения движения для координат мяча в зависимости от времени $t$:

Координата по оси OX: $x(t) = v_{0x} \cdot t = v_0 \cos(\alpha) \cdot t$

Координата по оси OY: $y(t) = h_0 + v_{0y} \cdot t - \frac{gt^2}{2} = h_0 + v_0 \sin(\alpha) \cdot t - \frac{gt^2}{2}$

Мяч коснется земли, когда его вертикальная координата $y(t)$ станет равна нулю. Найдем полное время полета $t_{полн}$, решив квадратное уравнение:

$h_0 + v_0 \sin(\alpha) \cdot t_{полн} - \frac{gt_{полн}^2}{2} = 0$

Подставим числовые значения. Для расчетов используем значения синуса и косинуса угла $40^\circ$:

$\sin(40^\circ) \approx 0,643$

$\cos(40^\circ) \approx 0,766$

$2 + 10 \cdot 0,643 \cdot t_{полн} - \frac{9,8 \cdot t_{полн}^2}{2} = 0$

$4,9 t_{полн}^2 - 6,43 t_{полн} - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-6,43)^2 - 4 \cdot 4,9 \cdot (-2) = 41,3449 + 39,2 = 80,5449$

Найдем корни уравнения:

$t_{полн} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6,43 \pm \sqrt{80,5449}}{2 \cdot 4,9} \approx \frac{6,43 \pm 8,975}{9,8}$

Поскольку время не может быть отрицательным, выбираем положительный корень:

$t_{полн} = \frac{6,43 + 8,975}{9,8} = \frac{15,405}{9,8} \approx 1,57$ с.

Теперь, зная полное время полета, мы можем найти расстояние $L$, на которое мяч переместится по горизонтали:

$L = x(t_{полн}) = v_0 \cos(\alpha) \cdot t_{полн}$

$L = 10 \cdot 0,766 \cdot 1,57 \approx 12,0262$ м.

Округлив до десятых, получим 12,0 м.

Ответ: мяч ударится о корт на расстоянии приблизительно 12,0 м от подающего.