Номер 1.21, страница 6 - гдз по физике 9 класс задачник Артеменков, Ломаченков

I. Движение тел вблизи поверхности Земли и гравитация - номер 1.21, страница 6.

Условие.

1.21 По дороге со скоростью 72 км/ч едут два автомобиля: грузовой, а за ним легковой. С заднего колеса грузового автомобиля срывается камень. На каком расстоянии должен держаться легковой автомобиль, чтобы камень не мог в него попасть?

Решение.

Дано:

Скорость автомобилей, $v = 72 \text{ км/ч}$

Переведем скорость движения автомобилей в систему СИ:

$v = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$

Ускорение свободного падения примем равным $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

Минимальное безопасное расстояние $L$ между автомобилями.

Решение:

Для решения задачи удобно перейти в систему отсчета, связанную с движущимися автомобилями. В этой системе отсчета и грузовой, и легковой автомобили покоятся. Легковой автомобиль находится на расстоянии $L$ от грузового.

Камень, срываясь с колеса, приобретает относительно автомобиля скорость, равную по модулю скорости автомобиля $v$. Эта скорость направлена по касательной к траектории точки на ободе колеса. Чтобы камень мог попасть в следующий за ним автомобиль, он должен быть брошен в обратном направлении движению. Максимальная скорость, которую колесо может сообщить камню в обратном направлении (относительно автомобиля), равна скорости автомобиля $v$.

Таким образом, в выбранной системе отсчета камень представляет собой тело, брошенное с начальной скоростью $v_0 = v$ в сторону легкового автомобиля. Чтобы найти максимальное расстояние, на которое может отлететь камень, нужно найти максимальную дальность полета тела, брошенного со скоростью $v$.

Дальность полета тела $R$, брошенного с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту, вычисляется по формуле (пренебрегая высотой точки срыва камня):

$R = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Максимальная дальность полета $R_{max}$ достигается при угле броска $\alpha = 45^\circ$, так как при этом значении $\sin(2\alpha)$ достигает своего максимума, равного 1.

Следовательно, максимальное расстояние, на которое может отлететь камень, равно:

$L = R_{max} = \frac{v^2}{g}$

Чтобы камень не мог попасть в легковой автомобиль, тот должен находиться на расстоянии, большем или равном максимальной дальности полета камня. Таким образом, искомое минимальное безопасное расстояние равно $L$.

Выполним вычисления:

$L = \frac{(20 \text{ м/с})^2}{10 \text{ м/с}^2} = \frac{400 \text{ м}^2/\text{с}^2}{10 \text{ м/с}^2} = 40 \text{ м}$

Ответ: легковой автомобиль должен держаться на расстоянии не менее 40 м.