Номер 1.24, страница 6 - гдз по физике 9 класс задачник Артеменков, Ломаченков

I. Движение тел вблизи поверхности Земли и гравитация - номер 1.24, страница 6.

Условие.

1.24 Мальчик вращает камень, привязанный к верёвке длиной 50 см, в вертикальной плоскости, делая 4 оборота за 1 с. На какую высоту поднимется камень, если верёвка оборвётся в тот момент, когда скорость камня будет направлена вертикально вверх?

Решение.

Дано:

Длина верёвки (радиус вращения), $L = 50 \text{ см}$

Число оборотов, $N = 4$

Время вращения, $t = 1 \text{ с}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$L = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$

Найти:

Высоту подъёма камня $h - ?$

Решение:

Когда камень вращается на верёвке, он движется по окружности. Чтобы найти высоту, на которую он поднимется после обрыва верёвки, необходимо сначала определить его линейную скорость в этот момент.

Частота вращения $\nu$ – это количество оборотов за единицу времени. По условию, камень делает 4 оборота за 1 секунду:

$\nu = \frac{N}{t} = \frac{4}{1 \text{ с}} = 4 \text{ с}^{-1} \text{ (Гц)}$

Угловая скорость $\omega$ связана с частотой вращения соотношением:

$\omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 4 = 8\pi \text{ рад/с}$

Линейная скорость $v$ камня равна произведению угловой скорости на радиус вращения $R$, который в данном случае равен длине верёвки $L$:

$v = \omega L = 8\pi \text{ рад/с} \cdot 0.5 \text{ м} = 4\pi \text{ м/с}$

В момент обрыва верёвки скорость камня направлена вертикально вверх. С этого момента камень движется как тело, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью $v_0 = v$. На него действует только сила тяжести, поэтому его движение является равнозамедленным. В наивысшей точке траектории его скорость становится равной нулю.

Высоту подъёма $h$ можно найти из закона сохранения энергии: начальная кинетическая энергия камня $E_k = \frac{mv_0^2}{2}$ полностью переходит в потенциальную энергию $E_p = mgh$ на максимальной высоте.

$\frac{mv_0^2}{2} = mgh$

Отсюда выражаем высоту подъёма $h$:

$h = \frac{v_0^2}{2g}$

Подставим известные значения: $v_0 = 4\pi \text{ м/с}$ и ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$:

$h = \frac{(4\pi \text{ м/с})^2}{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{16\pi^2}{19.6} \text{ м} = \frac{8\pi^2}{9.8} \text{ м}$

Теперь вычислим численное значение, принимая $\pi \approx 3.1416$:

$h \approx \frac{8 \cdot (3.1416)^2}{9.8} \text{ м} \approx \frac{8 \cdot 9.8696}{9.8} \text{ м} \approx \frac{78.957}{9.8} \text{ м} \approx 8.057 \text{ м}$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с точностью исходных данных), получаем итоговый ответ.

Ответ: $h \approx 8.1 \text{ м}$.