Номер 1.31, страница 7 - гдз по физике 9 класс задачник Артеменков, Ломаченков

I. Движение тел вблизи поверхности Земли и гравитация - номер 1.31, страница 7.

Условие.

1.31 Диск циркулярной пилы имеет диаметр 30 см. Вместе с диском на ось циркулярной пилы насажен шкив диаметром 6 см, который соединён посредством ременной передачи со шкивом на двигателе диаметром 12 см. Определите скорость зубьев циркулярной пилы, если вал двигателя совершает 1800 оборотов за 1 мин.

Решение.

Дано

Диаметр диска циркулярной пилы $D_{пилы} = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

Диаметр шкива на оси пилы $d_{пилы} = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Диаметр шкива на двигателе $d_{двиг} = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Число оборотов вала двигателя $N_{двиг} = 1800 \text{ оборотов}$

Время $t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

Найти:

Скорость зубьев циркулярной пилы $v_{зубьев}$

Решение

1. Сначала найдем частоту вращения вала двигателя $n_{двиг}$ в оборотах в секунду (Гц), переведя обороты в минуту в системные единицы.

$n_{двиг} = \frac{N_{двиг}}{t} = \frac{1800 \text{ об}}{60 \text{ с}} = 30 \text{ об/с} = 30 \text{ Гц}$

2. Угловая скорость $\omega$ связана с частотой вращения $n$ соотношением $\omega = 2\pi n$. Найдем угловую скорость вала двигателя $\omega_{двиг}$:

$\omega_{двиг} = 2\pi n_{двиг} = 2\pi \cdot 30 = 60\pi \text{ рад/с}$

3. Шкивы двигателя и пилы соединены ременной передачей. Если ремень не проскальзывает, то линейная скорость точек на ободе ведущего шкива (на двигателе) равна линейной скорости точек на ободе ведомого шкива (на пиле). Обозначим эту скорость $v_{ремень}$.

$v_{ремень} = v_{двиг} = v_{пилы\_шкив}$

Линейная скорость $v$ связана с угловой скоростью $\omega$ и радиусом $r$ как $v = \omega r$. Так как радиус равен половине диаметра ($r = d/2$), то $v = \omega d/2$.

$\omega_{двиг} \frac{d_{двиг}}{2} = \omega_{пилы} \frac{d_{пилы}}{2}$

Из этого соотношения выразим угловую скорость шкива пилы $\omega_{пилы}$. Диск пилы и шкив насажены на одну ось, поэтому их угловые скорости одинаковы.

$\omega_{пилы} = \omega_{двиг} \frac{d_{двиг}}{d_{пилы}}$

Подставим числовые значения:

$\omega_{пилы} = 60\pi \cdot \frac{0.12 \text{ м}}{0.06 \text{ м}} = 60\pi \cdot 2 = 120\pi \text{ рад/с}$

4. Скорость зубьев циркулярной пилы $v_{зубьев}$ - это линейная скорость точек на краю диска пилы. Она вычисляется по формуле $v = \omega R$, где $R_{пилы}$ - радиус диска пилы.

Радиус диска пилы: $R_{пилы} = \frac{D_{пилы}}{2} = \frac{0.3 \text{ м}}{2} = 0.15 \text{ м}$

Теперь вычислим скорость зубьев:

$v_{зубьев} = \omega_{пилы} R_{пилы} = 120\pi \cdot 0.15 = 18\pi \text{ м/с}$

Для получения численного ответа, используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$.

$v_{зубьев} \approx 18 \cdot 3.14159 \approx 56.55 \text{ м/с}$

Ответ: Скорость зубьев циркулярной пилы равна $18\pi \text{ м/с}$, что приблизительно составляет $56.6 \text{ м/с}$.