Номер 1.35, страница 7 - гдз по физике 9 класс задачник Артеменков, Ломаченков

I. Движение тел вблизи поверхности Земли и гравитация - номер 1.35, страница 7.

Условие.

1.35 На какой высоте над поверхностью Земли сила тяжести будет в 4 раза меньше, чем на Земле? Радиус Земли принять равным 6400 км.

Решение.

Дано

$F_1 / F_2 = 4$

$R_З = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$h$ - ?

Решение

Сила тяжести ($F$), действующая на тело, подчиняется закону всемирного тяготения, согласно которому сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами масс.

Сила тяжести на поверхности Земли ($F_1$) определяется по формуле:

$F_1 = G \frac{M \cdot m}{R_З^2}$

где $G$ – гравитационная постоянная, $M$ – масса Земли, $m$ – масса тела, а $R_З$ – радиус Земли (расстояние от центра Земли до ее поверхности).

На высоте $h$ над поверхностью Земли расстояние от центра Земли до тела будет равно $R_З + h$. Сила тяжести на этой высоте ($F_2$) будет равна:

$F_2 = G \frac{M \cdot m}{(R_З + h)^2}$

По условию задачи, сила тяжести на высоте $h$ в 4 раза меньше, чем на поверхности Земли, то есть:

$F_2 = \frac{F_1}{4}$

Подставим выражения для сил $F_1$ и $F_2$ в это соотношение:

$G \frac{M \cdot m}{(R_З + h)^2} = \frac{1}{4} \cdot G \frac{M \cdot m}{R_З^2}$

Сократим одинаковые множители ($G, M, m$) в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{(R_З + h)^2} = \frac{1}{4R_З^2}$

Из этого равенства следует, что знаменатели дробей равны:

$(R_З + h)^2 = 4R_З^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как расстояние является положительной величиной, мы рассматриваем только положительные корни:

$\sqrt{(R_З + h)^2} = \sqrt{4R_З^2}$

$R_З + h = 2R_З$

Теперь выразим высоту $h$:

$h = 2R_З - R_З$

$h = R_З$

Подставим известное значение радиуса Земли:

$h = 6400 \text{ км}$

Таким образом, на высоте, равной радиусу Земли, сила тяжести будет в 4 раза меньше, чем на ее поверхности.

Ответ: 6400 км.