Номер 1.37, страница 7 - гдз по физике 9 класс задачник Артеменков, Ломаченков

I. Движение тел вблизи поверхности Земли и гравитация - номер 1.37, страница 7.

Условие.

1.37 Воздушный шар поднялся на высоту 20 км. На сколько изменилось на этой высоте ускорение свободного падения? Радиус Земли принять равным 6370 км.

Решение.

Дано:

$h = 20 \text{ км} = 2 \cdot 10^4 \text{ м}$

$R = 6370 \text{ км} = 6.37 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$\Delta g - ?$

Решение:

Ускорение свободного падения на поверхности Земли определяется законом всемирного тяготения и равно:

$g_0 = G\frac{M}{R^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, а $R$ — радиус Земли.

На высоте $h$ над поверхностью Земли расстояние до центра планеты становится равным $R+h$, и ускорение свободного падения $g_h$ на этой высоте будет:

$g_h = G\frac{M}{(R+h)^2}$

Изменение ускорения свободного падения $\Delta g$ равно разности между его значением на поверхности и на высоте $h$:

$\Delta g = g_0 - g_h$

Чтобы найти эту разность, выразим $g_h$ через $g_0$. Для этого разделим второе уравнение на первое:

$\frac{g_h}{g_0} = \frac{G\frac{M}{(R+h)^2}}{G\frac{M}{R^2}} = \frac{R^2}{(R+h)^2} = \left(\frac{R}{R+h}\right)^2$

Отсюда получаем:

$g_h = g_0 \left(\frac{R}{R+h}\right)^2$

Теперь можем найти изменение $\Delta g$:

$\Delta g = g_0 - g_0 \left(\frac{R}{R+h}\right)^2 = g_0 \left(1 - \left(\frac{R}{R+h}\right)^2\right)$

Подставим числовые значения. В качестве стандартного значения ускорения свободного падения на поверхности Земли примем $g_0 \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

$\Delta g \approx 9.8 \left(1 - \left(\frac{6370 \text{ км}}{6370 \text{ км} + 20 \text{ км}}\right)^2\right) = 9.8 \left(1 - \left(\frac{6370}{6390}\right)^2\right)$

$\Delta g \approx 9.8 \left(1 - \left(\frac{637}{639}\right)^2\right) \approx 9.8 \left(1 - (0.99687)^2\right) \approx 9.8 (1 - 0.99375)$

$\Delta g \approx 9.8 \cdot 0.00625 \approx 0.06125 \text{ м/с}^2$

Округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: ускорение свободного падения уменьшилось на $0.061 \text{ м/с}^2$.