Номер 1.38, страница 7 - гдз по физике 9 класс задачник Артеменков, Ломаченков

I. Движение тел вблизи поверхности Земли и гравитация - номер 1.38, страница 7.

Условие.

1.38 Определите скорость, которую необходимо сообщить искусственному спутнику Земли (ИСЗ), чтобы он двигался вокруг неё по круговой орбите на высоте 500 км. Массу Земли принять равной $6 \cdot 10^{24}$ кг, а её радиус 6400 км.

Решение.

Дано:

$h = 500$ км

$M = 6 \cdot 10^{24}$ кг

$R = 6400$ км

$G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$ (гравитационная постоянная)

Перевод в систему СИ:

$h = 500 \text{ км} = 500 \cdot 10^3 \text{ м} = 5 \cdot 10^5 \text{ м}$

$R = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$v$ - ?

Решение:

Для того чтобы искусственный спутник Земли (ИСЗ) двигался по круговой орбите, на него должна действовать центростремительная сила. Эту роль выполняет сила гравитационного притяжения со стороны Земли.

Согласно второму закону Ньютона, центростремительная сила $F_c$, действующая на спутник, равна произведению его массы $m$ на центростремительное ускорение $a_c$:

$F_c = m \cdot a_c = m \frac{v^2}{r}$

где $v$ - орбитальная скорость спутника, а $r$ - радиус его орбиты.

Сила гравитационного притяжения $F_g$ между Землей и спутником определяется законом всемирного тяготения:

$F_g = G \frac{M \cdot m}{r^2}$

где $M$ - масса Земли, $m$ - масса спутника, $G$ - гравитационная постоянная.

При движении по круговой орбите гравитационная сила является центростремительной, поэтому мы можем приравнять эти две силы:

$F_c = F_g$

$m \frac{v^2}{r} = G \frac{M \cdot m}{r^2}$

Сократим массу спутника $m$ и радиус $r$ в уравнении:

$v^2 = G \frac{M}{r}$

Отсюда, искомая скорость $v$ равна:

$v = \sqrt{G \frac{M}{r}}$

Радиус орбиты $r$ - это расстояние от центра Земли до спутника, которое равно сумме радиуса Земли $R$ и высоты орбиты $h$ над поверхностью Земли:

$r = R + h$

Подставим значения в СИ:

$r = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} + 5 \cdot 10^5 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} + 0.5 \cdot 10^6 \text{ м} = 6.9 \cdot 10^6 \text{ м}$

Теперь вычислим скорость:

$v = \sqrt{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot \frac{6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{6.9 \cdot 10^6 \text{ м}}} = \sqrt{\frac{40.02 \cdot 10^{13}}{6.9 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{5.8 \cdot 10^7} \text{ м/с}$

$v \approx \sqrt{58 \cdot 10^6} \text{ м/с} \approx 7.616 \cdot 10^3 \text{ м/с} \approx 7616 \text{ м/с}$

Округлим результат до трех значащих цифр.

Ответ: скорость, которую необходимо сообщить спутнику, составляет примерно 7620 м/с (или 7.62 км/с).