Номер 1.40, страница 8 - гдз по физике 9 класс задачник Артеменков, Ломаченков

I. Движение тел вблизи поверхности Земли и гравитация - номер 1.40, страница 8.

Условие.

1.40 Определите период обращения ИСЗ, если он движется по круговой орбите на высоте, равной половине радиуса Земли.

Решение.

Дано:

Высота орбиты ИСЗ, $h = 0.5 R_З$

Средний радиус Земли, $R_З \approx 6.4 \cdot 10^6$ м

Масса Земли, $M_З \approx 6 \cdot 10^{24}$ кг

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Найти:

Период обращения ИСЗ, $T$ - ?

Решение:

Искусственный спутник Земли (ИСЗ) движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона:

$F_g = m a_ц$

где $F_g$ – сила гравитационного притяжения спутника к Земле, $m$ – масса спутника, $a_ц$ – центростремительное ускорение.

Сила гравитационного притяжения определяется законом всемирного тяготения:

$F_g = G \frac{M_З m}{r^2}$

Центростремительное ускорение для движения по окружности радиусом $r$ со скоростью $v$ равно:

$a_ц = \frac{v^2}{r}$

Радиус орбиты $r$ складывается из радиуса Земли $R_З$ и высоты спутника над поверхностью Земли $h$:

$r = R_З + h$

По условию задачи, $h = 0.5 R_З$, следовательно:

$r = R_З + 0.5 R_З = 1.5 R_З$

Приравнивая силу тяготения и центробежную силу ($m a_ц$):

$G \frac{M_З m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Сократив массу спутника $m$ и радиус $r$, выразим скорость движения спутника:

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$

Период обращения $T$ – это время, за которое спутник совершает один полный оборот по орбите. Он связан со скоростью и радиусом орбиты соотношением:

$T = \frac{2 \pi r}{v}$

Подставим выражение для скорости $v$ в формулу для периода:

$T = \frac{2 \pi r}{\sqrt{\frac{G M_З}{r}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M_З}}$

Теперь подставим $r = 1.5 R_З$:

$T = 2 \pi \sqrt{\frac{(1.5 R_З)^3}{G M_З}}$

Произведем вычисления. Сначала найдем радиус орбиты:

$r = 1.5 \cdot (6.4 \cdot 10^6 \text{ м}) = 9.6 \cdot 10^6 \text{ м}$

Теперь рассчитаем период:

$T = 2 \pi \sqrt{\frac{(9.6 \cdot 10^6)^3}{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}} \approx 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{\frac{8.847 \cdot 10^{20}}{4.002 \cdot 10^{14}}} \approx 6.28 \cdot \sqrt{2.21 \cdot 10^6} \approx 6.28 \cdot 1487 \approx 9338 \text{ с}$

Переведем результат в более удобные единицы:

$T \approx 9338 \text{ с} \approx 155.6 \text{ мин} \approx 2.6 \text{ ч}$

Ответ: $T \approx 9338$ с, или примерно 2.6 часа.