Номер 1.39, страница 7 - гдз по физике 9 класс задачник Артеменков, Ломаченков

I. Движение тел вблизи поверхности Земли и гравитация - номер 1.39, страница 7.

Условие.

1.39 Вычислите первую космическую скорость для Юпитера, если его масса равна $1,9 \cdot 10^{27}$ кг, а радиус $71,5 \cdot 10^{3}$ км.

Решение.

Дано:

Масса Юпитера, $M = 1,9 \cdot 10^{27}$ кг

Радиус Юпитера, $R = 71,5 \cdot 10^3$ км

Гравитационная постоянная, $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

Перевод в систему СИ:

$R = 71,5 \cdot 10^3 \, \text{км} = 71,5 \cdot 10^3 \cdot 10^3 \, \text{м} = 71,5 \cdot 10^6 \, \text{м} = 7,15 \cdot 10^7 \, \text{м}$

Найти:

Первую космическую скорость $v_1$.

Решение:

Первая космическая скорость — это минимальная скорость, которую необходимо придать телу на поверхности планеты (без учета сопротивления атмосферы), чтобы оно могло вращаться вокруг планеты по круговой орбите. Она определяется по формуле:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса планеты, $R$ — радиус планеты.

Подставим известные значения в систему СИ в данную формулу:

$v_1 = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 1,9 \cdot 10^{27}}{7,15 \cdot 10^7}}$

Выполним вычисления поэтапно. Сначала вычислим числитель:

$6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 1,9 \cdot 10^{27} = (6,67 \cdot 1,9) \cdot 10^{-11+27} = 12,673 \cdot 10^{16}$

Теперь разделим полученное значение на знаменатель:

$\frac{12,673 \cdot 10^{16}}{7,15 \cdot 10^7} = \frac{12,673}{7,15} \cdot 10^{16-7} \approx 1,772 \cdot 10^9$

Наконец, извлечем квадратный корень из результата:

$v_1 = \sqrt{1,772 \cdot 10^9} = \sqrt{17,72 \cdot 10^8} = \sqrt{17,72} \cdot 10^4 \approx 4,21 \cdot 10^4$ м/с.

Учитывая, что исходные данные даны с двумя значащими цифрами, округлим результат до соответствующей точности:

$v_1 \approx 4,2 \cdot 10^4$ м/с.

Это значение также можно выразить в километрах в секунду для наглядности:

$4,2 \cdot 10^4 \, \text{м/с} = 42000 \, \text{м/с} = 42 \, \text{км/с}$.

Ответ: первая космическая скорость для Юпитера составляет приблизительно $4,2 \cdot 10^4$ м/с, или $42$ км/с.