Номер 1.10, страница 5 - гдз по физике 9 класс задачник Артеменков, Ломаченков

I. Движение тел вблизи поверхности Земли и гравитация - номер 1.10, страница 5.

Условие.

1.10 Жонглёр бросает шарик и, когда тот достигает половины от его максимальной высоты, бросает точно так же следующий. Сколько шариков будет в воздухе в момент приземления первого из них?

Решение.

Решение:

Обозначим начальную скорость, с которой жонглёр бросает каждый шарик, как $v_0$. Движение шарика вверх до максимальной высоты является равнозамедленным с ускорением $g$ (ускорение свободного падения).

1. Найдём полное время полета первого шарика ($T_{full}$).

Время подъема на максимальную высоту ($t_{up}$) определяется из условия, что в верхней точке траектории скорость равна нулю: $v(t) = v_0 - gt$.
$0 = v_0 - gt_{up} \Rightarrow t_{up} = \frac{v_0}{g}$.

Максимальная высота подъема ($H_{max}$) определяется по формуле: $H_{max} = v_0 t_{up} - \frac{g t_{up}^2}{2} = v_0 \left(\frac{v_0}{g}\right) - \frac{g}{2}\left(\frac{v_0}{g}\right)^2 = \frac{v_0^2}{2g}$.

Поскольку движение симметрично, время падения равно времени подъема. Таким образом, полное время полета шарика:$T_{full} = 2t_{up} = \frac{2v_0}{g}$.

2. Найдём интервал времени между бросками ($\Delta t$).

Следующий шарик бросают, когда предыдущий достигает половины максимальной высоты: $H_1 = \frac{H_{max}}{2} = \frac{v_0^2}{4g}$.Нам нужно найти время $\Delta t$, за которое шарик поднимается на эту высоту. Используем уравнение для высоты:$y(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$.$\frac{v_0^2}{4g} = v_0 \Delta t - \frac{g(\Delta t)^2}{2}$.

Это квадратное уравнение относительно $\Delta t$:$\frac{g}{2}(\Delta t)^2 - v_0 \Delta t + \frac{v_0^2}{4g} = 0$.Решим его:$\Delta t = \frac{v_0 \pm \sqrt{v_0^2 - 4 \cdot \frac{g}{2} \cdot \frac{v_0^2}{4g}}}{g} = \frac{v_0 \pm \sqrt{v_0^2 - \frac{v_0^2}{2}}}{g} = \frac{v_0 \pm \frac{v_0}{\sqrt{2}}}{g}$.

Мы получаем два момента времени, когда шарик находится на этой высоте: при подъеме и при спуске. Нас интересует первый момент (меньшее время), т.е. подъем:$\Delta t = \frac{v_0}{g}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = t_{up}\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

3. Определим количество шариков в воздухе.

Первый шарик находится в воздухе время $T_{full}$. За это время жонглёр успевает бросить несколько других шариков с интервалом $\Delta t$. Чтобы найти, сколько шариков (помимо первого) было брошено, нужно найти, сколько раз интервал $\Delta t$ укладывается во времени $T_{full}$:$k = \frac{T_{full}}{\Delta t} = \frac{2t_{up}}{t_{up}(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{2}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{2 - \sqrt{2}}$.

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 + \sqrt{2})$:$k = \frac{4(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{4(2 + \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{4(2 + \sqrt{2})}{2} = 2(2 + \sqrt{2}) = 4 + 2\sqrt{2}$.

Приблизительное значение $k$:$k \approx 4 + 2 \cdot 1.414 = 4 + 2.828 = 6.828$.

Это означает, что за время полета первого шарика проходит 6 полных интервалов $\Delta t$ и еще часть седьмого.Броски происходят в моменты времени:
- Шарик 1: $t = 0$
- Шарик 2: $t = \Delta t$
- Шарик 3: $t = 2\Delta t$
...
- Шарик 7: $t = 6\Delta t$

Поскольку $6\Delta t < 6.828\Delta t = T_{full}$, седьмой шарик успевает вылететь до того, как приземлится первый. Восьмой шарик будет брошен в момент $t = 7\Delta t$, что больше, чем $T_{full}$.

Таким образом, в момент приземления первого шарика ($t=T_{full}$) всего было брошено 7 шариков. Первый шарик уже на земле, а остальные 6 (со второго по седьмой) находятся в полете.

Ответ: 6 шариков.