Номер 5.28, страница 30 - гдз по физике 9 класс задачник Артеменков, Ломаченков

V. Геометрическая оптика - номер 5.28, страница 30.

Условие.

5.28 Определите тип линзы, её местоположение и положение её фокусов, если задано расположение главной оптической оси, предмета и его изображения (рис. 22).

Рис. 22

Решение.

Для решения задачи воспользуемся методами геометрической оптики. За единицу длины примем сторону одной клетки на рисунке.

а) Верхний левый рисунок

Дано:

Высота предмета $h = 2$ кл.
Высота изображения $h' = 1$ кл. (изображение перевернутое)
Расстояние между основаниями предмета и изображения $L = 5$ кл.

Найти:

Тип линзы, положение линзы, положение фокусов.

Решение:

1. Поскольку изображение $A'B'$ является перевернутым, оно действительное. Действительное изображение может быть получено только с помощью собирающей линзы.
2. Положение линзы можно определить, проведя прямую через точки $B$ (вершина предмета) и $B'$ (вершина изображения). Точка пересечения этой прямой с главной оптической осью является оптическим центром линзы $O$. Пусть расстояние от предмета до линзы равно $d$, а от линзы до изображения — $f$. Из подобия треугольников, образованных предметом, изображением и прямой $BB'$, следует: $\frac{d}{f} = \frac{h}{|h'|} = \frac{2}{1} = 2$, откуда $d = 2f$. Из рисунка видно, что полное расстояние между предметом и изображением $L = d + f = 5$ кл. Подставим $d = 2f$ в это уравнение: $2f + f = 5 \implies 3f = 5 \implies f = \frac{5}{3}$ кл. Тогда $d = 2 \cdot \frac{5}{3} = \frac{10}{3}$ кл. Линза расположена на расстоянии $\frac{10}{3}$ кл. от предмета и $\frac{5}{3}$ кл. от изображения.
3. Фокусное расстояние $F$ найдем из формулы тонкой линзы для действительного изображения: $\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$ $\frac{1}{F} = \frac{1}{10/3} + \frac{1}{5/3} = \frac{3}{10} + \frac{3}{5} = \frac{3+6}{10} = \frac{9}{10}$ Отсюда фокусное расстояние $F = \frac{10}{9}$ кл. Фокусы расположены симметрично по обе стороны от линзы на этом расстоянии.

Ответ: Линза собирающая, расположена на расстоянии $\frac{10}{3} \approx 3.33$ клетки от предмета в сторону изображения. Фокусное расстояние линзы равно $\frac{10}{9} \approx 1.11$ клетки.

б) Верхний правый рисунок

Дано:

Высота предмета $h = 2$ кл.
Высота изображения $h' = 1$ кл. (изображение перевернутое)
Расстояние между основаниями предмета и изображения $L = 9$ кл.

Найти:

Тип линзы, положение линзы, положение фокусов.

Решение:

1. Изображение перевернутое, следовательно, оно действительное. Линза — собирающая.
2. Аналогично предыдущему случаю, найдем положение линзы из соотношения расстояний и высот. $\frac{d}{f} = \frac{h}{|h'|} = \frac{2}{1} = 2 \implies d = 2f$. Общее расстояние $d + f = 9$ кл. $2f + f = 9 \implies 3f = 9 \implies f = 3$ кл. $d = 2 \cdot 3 = 6$ кл. Линза находится на расстоянии $6$ кл. от предмета и $3$ кл. от изображения.
3. Найдем фокусное расстояние $F$ из формулы тонкой линзы: $\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ Отсюда $F = 2$ кл. Фокусы расположены на расстоянии 2 кл. от оптического центра с обеих сторон.

Ответ: Линза собирающая, расположена на расстоянии 6 клеток от предмета в сторону изображения. Фокусное расстояние линзы равно 2 клетки.

в) Нижний левый рисунок

Дано:

Высота предмета $h = 2$ кл.
Высота изображения $h' = 1$ кл. (изображение прямое)
Предмет и изображение расположены по одну сторону от линзы.

Найти:

Тип линзы, положение линзы, положение фокусов.

Решение:

1. Изображение прямое, уменьшенное и мнимое (так как находится с той же стороны от линзы, что и предмет, если судить по лучу $BB'$). Такое изображение дает только рассеивающая линза.
2. Проведем прямую через точки $B$ и $B'$. Ее пересечение с главной оптической осью даст положение оптического центра линзы $O$. Пусть начало координат находится у основания предмета A. Тогда координаты $B(0, 2)$, $A'(3, 0)$, $B'(3, 1)$. Оптический центр линзы $O$ лежит на прямой $BB'$. Из подобия треугольников, образованных высотами $h$ и $h'$ и расстояниями до оптического центра, следует: $\frac{d}{|f|} = \frac{h}{h'} = \frac{2}{1} = 2$. Здесь $d$ — расстояние от предмета до линзы, а $|f|$ — от изображения до линзы. Из рисунка видно, что $d = |f| + 3$. Подставляем $|f| = d/2$: $d = d/2 + 3 \implies d/2 = 3 \implies d = 6$ кл. Тогда $|f| = 3$ кл. Линза расположена на расстоянии 6 кл. от предмета.
3. Фокусное расстояние $F$ для рассеивающей линзы найдем по формуле: $\frac{1}{F} = \frac{1}{d} - \frac{1}{|f|}$ (по соглашению знаков для рассеивающей линзы) $\frac{1}{F} = \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = \frac{1-2}{6} = -\frac{1}{6}$ Оптическая сила отрицательна, что подтверждает тип линзы. Фокусное расстояние $F = 6$ кл. Фокусы (мнимый и действительный) находятся на расстоянии 6 кл. от линзы с обеих сторон.

Ответ: Линза рассеивающая, расположена на расстоянии 6 клеток от предмета (справа от него). Фокусное расстояние линзы равно 6 клеткам.

г) Нижний правый рисунок

Дано:

Высота предмета $h = 1$ кл.
Высота изображения $h' = 2$ кл. (изображение прямое, мнимое)
Предмет и изображение расположены по одну сторону от линзы.

Найти:

Тип линзы, положение линзы, положение фокусов.

Решение:

1. Изображение прямое, увеличенное и мнимое. Такое изображение (эффект лупы) дает собирающая линза, если предмет находится между линзой и ее фокусом.
2. Положение линзы $O$ найдем как точку пересечения прямой $BB'$ и главной оптической оси. Из подобия треугольников: $\frac{|f|}{d} = \frac{h'}{h} = \frac{2}{1} = 2$, откуда $|f| = 2d$. Из рисунка видно, что расстояние между основаниями предмета и изображения равно 4 кл., и $|f| = d + 4$. Подставим $|f| = 2d$: $2d = d + 4 \implies d = 4$ кл. Тогда $|f| = 2 \cdot 4 = 8$ кл. Линза находится на расстоянии $d=4$ кл. от предмета.
3. Фокусное расстояние $F$ для собирающей линзы, дающей мнимое изображение, найдем по формуле: $\frac{1}{F} = \frac{1}{d} - \frac{1}{|f|}$ $\frac{1}{F} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{2-1}{8} = \frac{1}{8}$ Отсюда $F = 8$ кл. Фокусы расположены на расстоянии 8 кл. от линзы.

Ответ: Линза собирающая, расположена на расстоянии 4 клетки от предмета (справа от него). Фокусное расстояние линзы равно 8 клеткам.