Движение водяных струй, страница 159, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 4. Механика жидкостей и газов. Параграф 38. Исследовательские работы. Практические работы-исследование - страница 159.

Условие.

Практические работы-исследования

Изучаем механику жидкости

ДВИЖЕНИЕ ВОДЯНЫХ СТРУЙ

Рассмотрим возможности опытной проверки некоторых законов гидродинамики, в частности закона Бернулли. Используем простую экспериментальную установку, представляющую собой вертикальный цилиндрический сосуд с водой, снабжённый отверстием в боковой стенке, которое закрывается пробкой.

Измерив диаметры сосуда и отверстия, можно вычислить площади их поперечных сечений по известным формулам. Скорость вытекания воды из отверстия можно рассчитать чисто теоретически на основе энергетических соображений, а именно через работу сил гидростатического давления на уровне отверстия.

Особый интерес представляет вопрос, где нужно расположить отверстие, чтобы при заданном положении уровня воды в сосуде дальность полёта водяной струи была наибольшей.

Цель работы

Изучить движение водяных струй.

ПОМОЩНИК

• В качестве оборудования можно использовать цилиндрический сосуд с тремя отверстиями, расположенными на разной высоте, линейку, пластилин, воду, поддон для сбора воды.

• Введём обозначения:

H — высота уровня воды в сосуде;

h — расстояние от уровня воды до отверстия;

$h_1$ — расстояние от дна сосуда до отверстия, причём

$$h_1 + h = H;$$

$\text{S}$ — площадь поперечного сечения отверстия;

$\rho gh$ — гидростатическое давление вблизи отверстия;

$F = pS$ — сила давления, действующая на элемент воды массой $\Delta m$, вытекающей из отверстия со скоростью $\text{v}$.

• Вычислим работу сил давления на малом перемещении $\Delta x$:

$$\Delta A = F\Delta x = \rho ghS\Delta x.$$

Запишем взаимосвязь работы с изменением кинетической энергии $\Delta E_k$ выделенного элемента воды:

$$\Delta A = \Delta E_k = \frac{\Delta m v^2}{2},$$

где $\Delta m = \rho S \Delta x$;

$$\rho ghS\Delta x = \frac{\rho S\Delta x v^2}{2}.$$

Получим выражение для скорости вытекания воды из отверстия:

$$v = \sqrt{2gh}.$$

• Дальность полёта струи $L = vt$, где $\text{t}$ — время, по истечении которого струя достигнет поверхности воды.

Согласно уравнениям кинематики,

$$h_1 = \frac{gt^2}{2} \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2h_1}{g}}.$$

Следовательно,

$$L = 2\sqrt{hh_1} = 2\sqrt{h(H-h)}.$$

Очевидно, что $L = L_{max}$ будет в том случае, когда произведение $h(H-h)$ будет максимальным при фиксированном значении $\text{H}$.

Научная справка

Как найти наибольшее значение функции $f = xy$ в ситуации, когда переменные $\text{x}$ и $\text{y}$ связаны условием $x + y = C = \text{const}$?

$$y = C - x;$$$$f = x(C - x) = -x^2 + Cx.$$

Таким образом, искомая функция — квадратичная, её график представляет собой параболу относительно переменной $\text{x}$, причём ветви параболы направлены вниз. Остаётся решить задачу нахождения координат вершины параболы.

• Воспользовавшись научной справкой, находим взаимосвязь между величинами $\text{H}$ и $\text{h}$, т. е. устанавливаем, при каком значении $\text{h}$ дальность полёта будет наибольшей.

• Пронумеруем отверстия снизу вверх и измерим расстояние $h_1$ для каждого из трёх отверстий.

• Исходя из значений величин $h_1$ и результатов теоретического анализа, находим высоту уровня воды в сосуде, при которой дальность полёта струи будет максимальной.

• Результаты измерений и вычислений заносим в таблицу в своей тетради.

№ отверстия	$h_1$, см	$\text{H}$, см	$\text{h}$, см	$\text{L}$, см	$L_{\text{max теор}}$, см
1
2
3

• С учётом полученных результатов сделаем соответствующие выводы.

Решение.

Воспользовавшись научной справкой, находим взаимосвязь между величинами H и h, т. е. устанавливаем, при каком значении h дальность полёта будет наибольшей.

Дальность полёта $\text{L}$ струи воды, вытекающей из отверстия в боковой стенке сосуда, описывается формулой, приведённой в условии: $L = 2\sqrt{h(H-h)}$ где $\text{h}$ – расстояние от уровня воды до отверстия, а $\text{H}$ – общая высота уровня воды в сосуде.

Для нахождения максимальной дальности полёта $L_{max}$ необходимо найти максимум функции $L(h)$. Поскольку функция квадратного корня является монотонно возрастающей, максимум $L(h)$ будет достигаться при том же значении $\text{h}$, что и максимум подкоренного выражения $f(h) = h(H-h)$.

В научной справке указано, что для нахождения наибольшего значения функции $f = xy$ при условии $x+y=C$ (где $\text{C}$ – константа), необходимо найти вершину параболы $f(x) = x(C-x) = -x^2+Cx$. Максимум достигается, когда $x=y=C/2$.

В нашем случае переменными являются $\text{h}$ и $(H-h)$. Их сумма $h + (H-h) = H$ является постоянной величиной для данного эксперимента. Следовательно, их произведение $h(H-h)$ будет максимальным, когда эти сомножители равны: $h = H-h$ Решая это уравнение относительно $\text{h}$, получаем: $2h = H$ $h = \frac{H}{2}$

Это означает, что при заданном уровне воды $\text{H}$ дальность полёта струи будет максимальной, если отверстие расположено ровно на половине высоты столба воды.

Ответ: Дальность полёта будет наибольшей при $h = \frac{H}{2}$.

Исходя из значений величин h_1 и результатов теоретического анализа, находим высоту уровня воды в сосуде, при котором дальность полёта струи будет максимальной.

В задаче также введена величина $h_1$ – расстояние от дна сосуда до отверстия. Эти величины связаны соотношением: $H = h + h_1$

Как было установлено в предыдущем пункте, условием максимальной дальности полёта является $h = H/2$. Подставив это в соотношение выше, получим: $H = \frac{H}{2} + h_1$

Отсюда находим, что для максимальной дальности также должно выполняться условие: $h_1 = H - \frac{H}{2} = \frac{H}{2}$

Таким образом, условие максимальной дальности можно записать как $h = h_1$. Если нам задана высота отверстия $h_1$, то для достижения максимальной дальности полёта струи из этого отверстия, необходимо поддерживать уровень воды $\text{H}$ таким, чтобы выполнялось условие $h=h_1$. Выразим $\text{H}$ через $h_1$: $H = h + h_1 = h_1 + h_1 = 2h_1$

Ответ: Для отверстия на высоте $h_1$ от дна, дальность полёта будет максимальной, если высота уровня воды в сосуде будет вдвое больше, то есть $H = 2h_1$.

С учётом полученных результатов сделаем соответствующие выводы.

На основе проведённого теоретического анализа можно сформулировать следующие выводы:
1. Дальность полёта струи воды ($\text{L}$) зависит от глубины расположения отверстия под уровнем воды ($\text{h}$) и высоты отверстия над уровнем падения ($h_1$). Зависимость выражается формулой $L = 2\sqrt{hh_1}$.
2. При постоянной общей высоте столба воды $\text{H}$ в сосуде, максимальная дальность полёта ($L_{max}$) достигается, когда отверстие расположено на половине этой высоты ($h=h_1=H/2$).
3. Теоретическое значение максимальной дальности полёта равно высоте столба воды в сосуде. Это можно показать, подставив условие $h = h_1 = H/2$ в формулу для дальности: $L_{max} = 2\sqrt{\frac{H}{2} \cdot \frac{H}{2}} = 2 \cdot \frac{H}{2} = H$
4. Отверстия, расположенные симметрично относительно середины столба воды, обеспечивают одинаковую дальность полёта струи. Если для одного отверстия глубина равна $h'$, а высота $h_1'$, то для симметричного ему отверстия глубина будет $h_1'$, а высота $h'$. Произведение $h \cdot h_1$ в обоих случаях будет одинаковым, а значит, и дальности полёта будут равны.

Ответ: Максимальная дальность полёта струи достигается, когда отверстие находится на середине высоты столба воды ($h = H/2$). В этом случае максимальная дальность полёта равна высоте столба воды ($L_{max} = H$).